Zusammenhang Skalarprodukt und Winkel?

Hallo liebe Matheexperten,

ich beschäftige mich derzeit mit der Herleitung der Winkelbestimmung für zwei Vektoren. Dabei haben wir diese Herleitung bekommen:

Jetzt frage ich mich, warum die Umformung der beiden blauen Gleichungen so gilt. Warum ist also das Skalarprodukt von zwei Vektoren gleich mit dem Produkt der Beträge der Vektoren, wenn diese parallel und gleich gerichtet sind?

Leider haben wir auch keine wirkliche Defintion für das Skalarprodukt bekommen und es stattdessen vielmehr als „Mittel zum Zweck“ für die Bestimmung einer möglichen Orthogonalität gesehen.

Dieses Video bezeichnet das Skalaprodukt als „Produkt eines projezierten Vektors B auf einen Vektor V mit dem Vektor V“ (https://youtu.be/LyGKycYT2v0?si=pdMU_K0nO6LqqqfE, 1:43 min)

Würde das dann im Umkehrschluss bedeuten, dass sich der Betrag der Projektion des Vektors B auf den Vektor V dem tatsächlichen Betrag des Vektors B annähert, wenn der Winkel zwischen dem Vektor B und dem Vektor V gegen null läuft?

Wäre das dann auch die Erklärung dafür, dass die Vektoren B und V parallel und richtungsgleich sein müssen, damit die blau unterstrichene Gleichung so gilt?

Ich habe versucht, diese „Regel“ selbst mit Beispielen zu beweisen, bin aber leider erfolglos…

LG

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Wahrscheinlichkeit beim Ziehen mit Zurücklegen - zwei mögliche Ansätze (Urnenmodell)?

Die gegebene Aufgabe ist: Eine Urne ist mit q schwarzen und r roten Kugeln befüllt. Es wird mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von l+m Kugeln genau l schwarze und m rote Kugeln zu ziehen?

Mein 1. Ansatz:

Einführen einer Zufallsgröße X, die die schwarzen gezogenen Kugeln zählt und binomialverteilt ist mit n = q+r und p = l/(q+r). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun P(X=l). Ist dieser Ansatz so korrekt?

Mein 2. Ansatz:

Prinzipiell kann man ja auch damit arbeiten, dass bei Laplace Experimenten die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, indem man die Anzahl an günstigen Ergebnissen durch die Anzahl an insgesamt möglichen Ergebnissen teilt.

Es gibt insgesamt (q+r)^(l+m) / (l+m)! Möglichkeiten, aus q+r Kugeln genau l+m Kugeln auszuwählen (mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).

Es gibt (q)^(l) / l! Möglichkeiten, aus q Kugeln genau l Kugeln auszuwählen. Und es gibt (r)^(m) / m! Möglichkeiten, aus r Kugeln genau m Kugeln auszuwählen. Folglich gibt es ((q)^(l) / l!) * ((r)^(m) / m!) Möglichkeiten, aus q schwarzen Kugeln genau l schwarze Kugeln und gleichzeitig aus r roten Kugeln genau m rote Kugeln auszuwählen (mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Terme sind analog zum Fall ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aufgestellt).

D.h. die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich auch als

(Möglichkeiten, aus q+r Kugeln genau l+m Kugeln auszuwählen)/(Möglichkeiten, aus q schwarzen Kugeln genau l schwarze Kugeln und gleichzeitig aus r roten Kugeln genau m rote Kugeln auszuwählen)

= ( (q+r)^(l+m) / (l+m)!) /
((q)^(l) / l!) * ((r)^(m) / m!) ) ausdrücken, oder?

Ist das so korrekt, oder sind mir irgendwo Fehler unterlaufen? Sind beide Ansätze zulässig?

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