Wann ist die komplex konjugierte Funktion einer Funktion, der Realteil einer Funktion und der Imaginärteil einer Funktion holomorph?
Angenommen die Funktion ist selbst holomorph
3 Antworten
Du kannst die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen nachrechnen.
Wenn f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y) als holomorph gegeben ist, dann gilt
du/dx = dv/dy und du/dy = - dv/dx
Jetzt setzt für die Aufgabe (1) v = -v, (2) v = 0, (3) u =0
Und ziehe deine Schlussfolgerungen.
Beispiel zu (2)
du/dx = 0 und du/dy = 0
Das geht nur für u(x,y) = konstant
Das ist die Technikerlösung.
Dabei geht halt das wesentliche verloren wenn man die Diffenzialgleichungen einfach hinschreiben.
Das jede reelle / imaginäre holomorphe Funktion konstant ist folgt unmittelbar aus der C- linearität des Differentials, (genauer der C- homogenität)
Der Beweis ist also genau die Herleitung von Cauchy- Riemann. Wenn man also CR ohne Beweise hinschreiben ist das ganze irgendwie witzlos.
Dies geht nur wenn v=0, d.h. das komplex konjugierte einer Funktion darf keine Imaginärteilkomponente besitzen?
Eine Funktion ist genau dann holomorph, wenn sie komstante partielle Ableitungen besitzt. Die komplexe Konjugierte einer Funktion ist holomorph, wenn die ursprüngliche Funktion analytisch ist. Der Realteil und der Imaginärteil einer Funktion sind holomorph, wenn die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind.
Nur im triviale Fall. Wobei die zwei Fragen equivalent sind.
Was ist in diesem Fall mit trivial gemeint und was genau ist äquivalent?
Der triviale Fall ist die Nullfunktion, und die Aussage dass die komplex konjugierte Funktion holomorph ist ist äquivalent mit der Aussage dass Real- und Imaginärteil jeweils holomorph sind.
Also Realteil und Imaginärteil die Nullfunktion, weshalb die Nullfunktion?
Ja ok, also für 2 und 3 gilt, dass diese konstant sein müssen wegen du/dx=0 und du/dy=0 etc., um holomorph zu sein, aber für 1 gilt du/dx=-dv/dy und du/dy=dv/dx was hat dies dann zu bedeuten für das komplex konjugierte?