Stochastik?
Ich komme bei Aufgabe c) leider gar nicht weiter und soll das Ganze aber morgen vorstellen. Hat jemand eine Idee, wie man auf das Ergebnis kommen kann?
Mein Nachhilfe Lehrer meinte ich soll das Ganze als Funktion darstellen. Also t(x)= x^3+(1-x)^3. Dann sollte ich t1(x) gleich 0 setzen, dabei kommt x=1/2 raus. Ich verstehe aber weder, woher die 1 in der Gleichung kommt, noch was x=1/2 bedeuten soll.
Falls jemand also andere Vorschläge hätte, wäre ich sehr dankbar.
1 Antwort
Hallo,
gesucht wird die Wahrscheinlichkeit p, so daß die Wahrscheinlichkeit, nach zwei bereits gewonnenen Sätzen einen dritten Satz zu gewinnen, möglichst gering wird.
Dazu muß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Spiel mehr als drei Sätze hat, möglichst groß werden. Wenn die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, p ist, ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren 1-p.
Wann ist das Spiel nicht nach drei Sätzen zu Ende?
Am Anfang stehen auf jeden Fall zwei gewonnene Sätze - das ist die Voraussetzung.
Ist der dritte Satz auch gewonnen, war's das.
Mit mehr als drei Sätzen geht es so weiter (G=Gewinn; N=Niederlage):
Zunächst also G-G, dann entweder N-G oder N-N-G oder N-N-N.
Wenn diese Ereignisse zusammen möglichst wahrscheinlich werden, wird das Ereignis eines Dreisatzsieges möglichst unwahrscheinlich.
G-G hat die Wahrscheinlichkeit p². Dann fächert sich das auf zu N-G, also (1-p)*p, N-N-G, also (1-p)²*p und N-N-N, also (1-p)³.
Ergibt die Funktion des Nicht-Dreisatzsieges p²*[(1-p)*p+(1-p)²*p+(1-p)³]
Ergibt zusammengefaßt p²*(p-p²+p-2p²+p³+1-3p+3p²-p³)=p²*(1-p)=p²-p³.
Das muß abgeleitet werden, weil ein Extremwert gefunden werden muß, und gleich 0 gesetzt werden, also 2p-3p²=0 und faktorisiert p*(2-3p)=0. Ein Extremum liegt also bei p=0. Der kommt nicht infrage, denn bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0 gewinnt Mannschaft A keinen einzigen Satz, geschweige denn zwei oder drei.
Bleibt nur noch 2-3p=0, also p=2/3.
Gewinnt A mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3, wird die Wahrscheinlichkeit eines Spiels mit mehr als drei Sätzen möglichst groß und damit die Wahrscheinlichkeit eines Dreisatzspiels möglichst klein.
Herzliche Grüße,
Willy