Ausgleichsrechnung mit Normalengleichung (Matrizen)?
Hallo Zusammen,
ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabenstellung:
Wie muss ich hier vorgehen? Bisher hatten wir immer eine Funktion geben, voraus die Unbekannten u die Messwerte relativ einfach abgeleitet werden konnten. Bei dieser Aufgabenstellung weiss ich nun echt nicht wie vorgehen. Besonders die Lösung hat mich etwas irritiert:
Mir ist klar, dass mal die Basis V^2 = Summe(y(x) -yi)^2 = minimal werden muss. <- y(x) wäre wohl einfach a1 * g1(x1) + a2 *g(x2) + a3 * g(x3) <- wobei g(x) = x^0 ist und für x die Werte 1 (für 1. Messung) 2 (für 2. Messung) und 3 (für 3. Messung) eingesetzt werden müsste? a1,a2 und a3 wären die unbekannten, bzw. korrigierten Messwerte? Ich wäre euch riesig dankbar um eine Rückmeldung mit der Erklärung, wie ich die Aufgabe lösen muss.
Freundliche Grüsse
2 Antworten
Man hat hier 4 Verbesserungsgleichungen aufgestellt, wobei jeweils eine Messung in jeder Gleichung steckt; die letzte Gleichung beinhaltet die Zwangsbedingung, die nicht als solche eingeflossen ist, daher passt die Summenprobe nicht. Die Auflösung führt zu den oben angegebenen Lösungen (jeweils v = -50).
Da alle 3 Beobachtungen das gleiche Gewicht haben, hätte man m.E. viel einfacher vorgehen können, ohne einen Widerspruch zu produzieren:
AB + v - AC + v + BC + v = 0
1000 - 3800 + 3000 + 3 * v = 0
v = -66,6...
d_1 = 933,3...
d_2 = 3866,6...
d_3 = 2933,3...
Hier beträgt die Verbesserung zwar nicht -50, dafür passt die Zwangsbedingung.
Auf diese Lösung wäre ich nicht gekommen, aber das was da gemacht wird ist nachvollziehbar, man steckt die Messwerte und die Soll-Differenz der drei Messungen (=0) in die Methode der kleinsten Quadrate.
Ob das so Sinn macht, kann ich dir nicht sagen, es ist schon unschön, dass die Differenz der ausgeglichenen Werte immer noch nicht 0 ergibt, was ja physikalisch nicht korrekt ist.