zweite Ableitung von 2e^(-x^2)?

Hallo zusammen

ich habe f(x)= 2e⁻ˣ^²

Hier kann ich ja mit der Kettenregel, die da heisst: f'(x)= u'(v(x))*(v')

u = - x²

u'= -2x

v= 2e^u (wieso?)

v'= 2e^u (wieso?)

Nach Logik sollte ich ja so vorgehen:

Aber bei der zweiten Ableitung komme ich auf eine ganz andere Lösung.

• Wieso soll die Ableitung von e^(-2) = 2xe^(-x^2) sein?
• Wieso muss ich das Hochgestellte bei der Kettenregel und Produktregel AUCH hochnehmen?

Könnt Ihr mir sagen, wie ich genau die zweite und dritte Ableitung mache?

Bitte Schritt für Schritt?

Danke für die Hilfe

lg W.

Answer 1

[Beef87]

ich habe bei die erste Ableitung f'(x) = -4x*e^(-x²) nochmal in zwei einzelne Funktionen g(x) und h(x) unterteilt und diese separat abgeleitet, wobei man für die h(x) ja nochmal die Kettenregel braucht.
Und anschließend zusammen die Produktregel angewendet

Comments

[walbero]

ausgezeichnet.. vielen lieben Dank

[Beef87]

ich versuchs mal ausführlicher. Brauch noch kurz^^

Answer 2

[nobytree2]

Zuerst gönnen wir uns die einzelnen Ableitungen:

$\left(-x^2\right)'=-2x\ \ \ und\ \left(2e^z\right)'=2\left(e^z\right)'=2e^z$

Und jetzt zusammen

$\left(2e^{\left(-x^2\right)}\right)'=\left(-2x\right)\cdot\left(2e^{-x^2}\right)=-4xe^{-x^2}$

$f\left(x\right)''=\left(-4xe^{-x^2}\right)'=\left(-2x\cdot2e^{-x^2}\right)'$ $=-2x\cdot\left(2e^{-x^2}\right)+\left(-2x\right)'\cdot2e^{-x^2}$

$-2x\cdot\left(-4xe^{-x^2}\right)-4e^{-x^2}=8x^2e^{-x^2}-4e^{-x^2}=2\cdot2e^{-x^2}\left(2x^2-1\right)$

Daraus lässt sich jetzt unschwer eine Regel für die n-te Ableitung herstellen

Answer 3

[DerRoll]

Du wendest die Kettenregel falsch herum an. Es ist

$u\left(v\right)\ =\ 2e^v;\ v\left(x\right)\ =\ -2x^2;\ u'\left(v\right)\cdot v'\left(x\right)\ =\ 2e^{-2x^2}\cdot\left(-2x\right)$