Hallo liebe Community,
für mein Studium soll ich in einer Übungsaufgabe beweisen:
Wenn zwei Vektoren x,y im R^n gegeben sind, dann gilt:
||x+cy||≥||x|| für alle c -> x ist orthogonal zu y
Ich wollte das über Kontraposition beweisen. Findet ihr in meinem Beweis einen Fehler, oder klappt es so?
Beweis: z.z. Wenn x nicht orthogonal zu y ist, dann existiert mindestens ein c, sodass ||x+cy||<||x||
Beziehungsweise existiert mindestens ein c, sodass
||x+cy||²<||x||² <->
(x+cy)•(x+cy)<x•x <->
x•x+2(x•cy)+cy•cy<x•x <->
2(x•cy)+c²*(y•y)<0 <->
2c*(x•y)+c²*(y•y)<0
c²*(y•y) > 0 für alle c
Aber 2c*(x•y)≠0, da (x•y)≠0
Nun:
|2c(x•y)|>|c²(y•y)|
|2(x•y)|>|c(y•y)| und das ist definitiv möglich, wenn c in R ist, da man c beliebig nah an 0 heran bringen kann.
Hat mein ein solches c gefunden, wechselt man einfach das Vorzeichen, sodass 2c(x•y) negativ wird und hat damit ein c gefunden, sodass
2c(x•y)<c²(y•y), wodurch man die Kontraposition gezeigt hat. Damit folgt die Aussage.
Ist hier etwas falsch? Ich bin mir etwas unsicher, ob ich beim quadrieren vielleicht einen Fehler mit eingebaut habe, oder Ähnliches.