Allgemeine Form -> Scheitelform (Quadratische Funktion)?

Hallo,

y = -0,5x² -x soll in die Scheitelform gebracht werden.

In der Lösung steht der Rechenweg y=-0,5 (x²+2x+1-1) und weiter y=-0,5 (x+1)² +0,5

Ich verstehe nicht, wie man von y = -0,5x² -x dann zu y=-0,5 (x²+2x+1-1) kommt?? Wie kommt man darauf??

Vielleicht weiß es jemand, wie man da rechnet? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

[evtldocha]

$y=-0,5\ x^2-x\$

Ausklammern von = -0,5

$y=−0,5\ (x^2+2x)$

Nun addiere in der Klammer eine 0 (Darf man immer machen, da a + 0 = a)

$y=−0,5\cdot(x^2+2x+0)$

(Diese Zeile schreibt man später, wenn man geübt ist, natürlich nicht mehr auf das Papier).

Jetzt schreibe die 0 so, dass man anschließend eine binomische Formel verwenden kann. Das geht, wenn man das Quadrat der Hälfte des Faktors bei x (hier eine 2) addiert und subtrahiert

$0=+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2$

Also: $y=−0,5\cdot\left(x^2+2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2\right)$

Nun ist 2/2 = 1 und 1² = 1 also insgesamt: $y=−0,5\cdot(x^2+2x+1−1)$

Mit den ersten drei Termen innerhalb der Klammern kann man die 1. binomische Formel anwenden (so war die Addition der 0 gerade gemacht, dass das jetzt geht):

$y=-0,5\ \cdot\ \left(\left(x+1\right)^2-1\right)$

Zum Schluss multipliziert man die große, äußere Klammer noch aus:

$y=-0,5\cdot\left(x+1\right)^2-0,5\cdot\left(-1\right)=\ -0,5\cdot\left(x+1\right)^2+0,5$

Das Verfahren auf schlaue Art eine 0 zu addieren, nennt sich übrigens Quadratische Ergänzung.

Comments

[kaenguru171]

Vielen Dank für deine Antwort :)

Answer 2

[SebRmR]

y = -0,5x² - x
-0,5 ausgeklammert
y = -0,5(x² + 2x)
und quadratische Ergänzung