Ungleichungen: Fallunterschiede und Lösungemenge etc.?

Ich habe ein wenig Probleme damit Ungleichungen zu verstehen, bzw. diese Fallunterschiede und Lösungemenge.

Bei Fallunterschiede verstehe ich nicht wirklich wie ich z.B erkennen wie viele Fälle die jeweiligen Aufgaben haben. Z.b Ungleichungen mit ein bis zwei Beträgen und Ungleichungen mit ein bis zwei Wurzeln.

Außerdem komm ich immer durcheinander wie ich es aufschreiben soll mit den Ungleichungzeichen <,>,≤,≥ .

Ich weiß von Prinzip her ist es eigentlich nichts anderes als nach "x" umzustellen und habe dementsprechend "x". Allerdings muss ich auch viele anderen Sachen aufschreiben und habe überhaupt keine übersicht mehr wie und warum.

Die meisten Webseiten haben mir auch sehr wenig geholfen. Durch Beispiel Aufgaben mit Lösungen kommen mir trotzdem immer wieder Fragen durch den Kopf.

Wegen den vielen Ergebnisse weiß ich auch gar nicht wie ich die Lösungsmenge aufschreiben soll.

Kann wer mir vielleicht irgendwie Stichpunktartig bzw. Kurze knappe sätze schreiben wie ich das alles verstehen kann?

Bzw. mir kurz und knapp erklären warum wie man z.B erkennen kann wie viele Fallunterschiede diese Ungleichung hat und alles andere was ich vorhin geschrieben habe?

Weil ich verstehe es wirklich nicht bzw. komme die ganze Zeit durcheinander.

Danke im vorraus

(Bitte nur Antworten wenn ihr mir wirklich meine Fragen beantworten könnt und nicht solche Kommentare die keine Antworten für meine Fragen liefern!)

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Ortskurve bestimmen im Sachzusammenhang?

Ich weiß nicht, ob ich richtig oder falsch gerechnet habe:

Wird ein Ball von einer Höhe von 2m in einem Winkel von 45° gegenüber der Horizontalen geworfen, so kann dessen Flugbahn mit dem Graphen der Funktion mit fv (x)=2 + x - 10*x2 /v^2 , v=R+ modelliert werden. Hierbei ist v (in m/s) der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit, x (in m) die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und fv (x) (in m) die jeweilige Höhe über dem Boden. Auf welcher Ortskurve befinden sich die Hochpunkte der Graphen?

Meine Lösung wäre wie folgt:

Tiefpunkt ausrechnen:

fv '(x)=1- 10 * 2x ÷ v^2

fv '(x)= 0 <= Als notwendige Bedingung

<=>0 =1- 10 * 2x ÷ v^2 |+1

<=> 1 = -10 * 2x÷ v^2 | *v^2

<=> v^2 = -10 * 2x |: (-10)

<=> v^2/ -10 = 2x | :2

<=> v^2/ -20 = x

fv ''(x)= -20*v^2 <= Als hinreichende Bedingung

f''(v^2/ 20) = -20* v^2 <= TP

fv (x)=2 + x - 10*x2 /v^2

<=> fv (v^2/ -20)=2 + v^2/ -20 - 10*( v^2/ -20)2 /v^2

<=> fv (v^2/ -20)= 2+ v^2/-20 - 10*v^4/ 400*v^2

<=> fv (v^2/ -20)= 2+ v^2/-20 - v^2/40

TP (v^2/ -20 | 2+ v^2/-20 - v^2/40)

Von x nach v umstellen:

v^2/ -20 = x |*(-20)

<=> v^2 = -20x

in y vom TP einsetzen:

g(x)=2+ -20x/-20 - (-20x/40)= 2+ x + 1/2x

das wäre dann die Ortskurve.

Jedoch ist man auf folgender Seite auf eine andere Lösung gekommen:

https://www.mathelounge.de/867065/auf-welcher-ortskurve-befinden-sich-die-hochpunkte-graphen

Mein Rechenweg jedoch basiert auf dieses Bild:

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