Ungleichungen: Fallunterschiede und Lösungemenge etc.?
Ich habe ein wenig Probleme damit Ungleichungen zu verstehen, bzw. diese Fallunterschiede und Lösungemenge.
Bei Fallunterschiede verstehe ich nicht wirklich wie ich z.B erkennen wie viele Fälle die jeweiligen Aufgaben haben. Z.b Ungleichungen mit ein bis zwei Beträgen und Ungleichungen mit ein bis zwei Wurzeln.
Außerdem komm ich immer durcheinander wie ich es aufschreiben soll mit den Ungleichungzeichen <,>,≤,≥ .
Ich weiß von Prinzip her ist es eigentlich nichts anderes als nach "x" umzustellen und habe dementsprechend "x". Allerdings muss ich auch viele anderen Sachen aufschreiben und habe überhaupt keine übersicht mehr wie und warum.
Die meisten Webseiten haben mir auch sehr wenig geholfen. Durch Beispiel Aufgaben mit Lösungen kommen mir trotzdem immer wieder Fragen durch den Kopf.
Wegen den vielen Ergebnisse weiß ich auch gar nicht wie ich die Lösungsmenge aufschreiben soll.
Kann wer mir vielleicht irgendwie Stichpunktartig bzw. Kurze knappe sätze schreiben wie ich das alles verstehen kann?
Bzw. mir kurz und knapp erklären warum wie man z.B erkennen kann wie viele Fallunterschiede diese Ungleichung hat und alles andere was ich vorhin geschrieben habe?
Weil ich verstehe es wirklich nicht bzw. komme die ganze Zeit durcheinander.
Danke im vorraus
(Bitte nur Antworten wenn ihr mir wirklich meine Fragen beantworten könnt und nicht solche Kommentare die keine Antworten für meine Fragen liefern!)
Hast du mal eine Beispielaufgabe?
Z.B. für Wurzel:
sqrt(x + 2) - sqrt(1 - 3x) < 1
Für Beträge:
|x - 2| + 1/x + |x + 2| > 0
2 Antworten
Das wichtigste ist, dass Du strukturiert/organisiert vorgehst. Ist eigentlich immer wichtig, aber gerade bei Fallunterscheidungen sollte mit einer gewissen Ordnung an die Sache rangegangen werden, sonst wirds unübersichtlich. So hast Du z. B. bei 2 Beträgen 4 Fallunterscheidungen!
Bei der Auflösung eines Betrages gibt es 2 Fälle: entweder ist der Term innerhalb der Betragsstriche positiv, dann fallen die Striche einfach weg, oder dieser Term ist negativ, dann setzt Du den Term statt in diese Striche in Klammern mit einem Minus davor, und rechnest jeweils hinter der (Un-)Gleichung aus, was das für die Unbekannte in dem Term bedeutet, d. h. Du löst den Betragsterm nach der Unbekannten auf. Dann löst die (Un-)Gleichung wie gewohnt auf. Bei der Lösung schaust Du dann, ob diese mit der Bedingung zusammenpasst. Wenn nicht, dann ist diese Lösung keine Lösung der (Un-)Gleichung.
einfaches Beispiel:
|x+1|>7
1. Fall (Term ist positiv):
x+1>7 ∧ x+1>=0 <=> x>=-1
x>6 ∧ x>=-1 =>L1=]6;unendlich[
2. Fall (Term ist negativ):
-(x+1)>7 ∧ x+1<0 <=> x<-1
-x-1>7
x<-8 ∧ x<-1 => L2=]-unendlich;-8[
Bei 2 Beträgen hast Du es dann mit 4 Fällen zu tun. Da beginnst Du z. B. mit dem Fall, dass beide Terme positiv sind, als nächstes Term1 positiv Term2 negativ, dann umgekehrt und als letzten und 4. Fall, dass beide Terme negativ sind.
Zur Lösungsmenge gehören dann all die Lösungen bei denen es bei den einzelnen Fällen keinen Widerspruch mit der ∧-Bedingung gab. Daher auch strukturiert und sauber arbeiten/schreiben, so dass Du alle Lösungen schnell wiederfindest und nicht irgendwo im "Rumgeschmiere" die Lösungen und zugehörigen Bedingungen zusammensuchen musst.
Bzgl. des <- bzw. >-Zeichens musst Du bei Multiplikation und Division aufpassen: da musst Du das Ungleichheitszeichen drehen, wenn Du mit negativen Werten rechnest.
Hast Du es mit Wurzeln zu tun, d. h. Du wirst quadrieren müssen, dann musst Du auf jeden Fall die Lösungen in der Ausgangs(un-)gleichung testen, weil durch das Quadrieren wird u. U. die Lösungsmenge vergrößert (bedeutet: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung).
Ich fange mal mit den Beträgen an
|x - 2| + 1/x + |x + 2| > 0
Da hast du vorn den kritischen Wert 2, hinten den -2.
Für die Fallunterscheidung gibt es also die Bereichen < -2, zwischen -2 und 2 und > 2
Fangen wir mit <-2 an
Bereich im ersten Betrag negativ, im zweiten auch, also Vorzeichen umdrehen, wenn die Betragsstiche verschwinden sollen.
-x +2 + 1/x -x -2 > 0
-2x+1/x >0 |*x, aber x war ja negativ!
-2x² +1 <0
-2x²<-1
2x²>1
x²>1/2
x> Wurzel 1/2 oder x< - Wurzel 1/2
Jetzt auf die Anfangsbedingung sehen
passt also nur für x<-2, das wäre der erste Teil.
Jetzt müsste der zwischen -2 und 2 kommen, aber ich habe keine Lust mehr ;)
Schreib mal auf, was du denkst, wie es weitergeht (kann übrigens durchaus sein, dass ich mich zwischenzeitlich verrechnet habe, kommt schon mal vor)