Ortskurve bestimmen im Sachzusammenhang?

Ich weiß nicht, ob ich richtig oder falsch gerechnet habe:

Wird ein Ball von einer Höhe von 2m in einem Winkel von 45° gegenüber der Horizontalen geworfen, so kann dessen Flugbahn mit dem Graphen der Funktion mit f_v (x)=2 + x - 10*x² /v^2 , v=R⁺ modelliert werden. Hierbei ist v (in m/s) der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit, x (in m) die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und f_v (x) (in m) die jeweilige Höhe über dem Boden. Auf welcher Ortskurve befinden sich die Hochpunkte der Graphen?

Meine Lösung wäre wie folgt:

Tiefpunkt ausrechnen:

f_v '(x)=1- 10 * 2x ÷ v^2

f_v '(x)= 0 <= Als notwendige Bedingung

<=>0 =1- 10 * 2x ÷ v^2 |+1

<=> 1 = -10 * 2x÷ v^2 | *v^2

<=> v^2 = -10 * 2x |: (-10)

<=> v^2/ -10 = 2x | :2

<=> v^2/ -20 = x

f_v ''(x)= -20*v^2 <= Als hinreichende Bedingung

f''(v^2/ 20) = -20* v^2 <= TP

f_v (x)=2 + x - 10*x² /v^2

<=> f_v (v^2/ -20)=2 + v^2/ -20 - 10*( v^2/ -20)² /v^2

<=> f_v (v^2/ -20)= 2+ v^2/-20 - 10*v^4/ 400*v^2

<=> f_v (v^2/ -20)= 2+ v^2/-20 - v^2/40

TP (v^2/ -20 | 2+ v^2/-20 - v^2/40)

Von x nach v umstellen:

v^2/ -20 = x |*(-20)

<=> v^2 = -20x

in y vom TP einsetzen:

g(x)=2+ -20x/-20 - (-20x/40)= 2+ x + 1/2x

das wäre dann die Ortskurve.

Jedoch ist man auf folgender Seite auf eine andere Lösung gekommen:

https://www.mathelounge.de/867065/auf-welcher-ortskurve-befinden-sich-die-hochpunkte-graphen

Mein Rechenweg jedoch basiert auf dieses Bild:

Answer 1

[evtldocha]

Hier hast Du schon den ersten Fehler (wahrscheinlich den entscheidenden, da der in der Folge das falsche Vorzeichen liefert):

<=> 0 =1- 10 * 2x ÷ v^2 |+1
<=> 1 = -10 * 2x÷ v^2

Wenn Du "auf beiden Seiten +1" rechnest hättest Du rechts eigentlich 2 - 10 * 2x ÷ v^2 stehen haben müssen, denn 1+1 wäre rechts 2 gewesen. Richtig ist

$1-\frac{10\cdot2}{v^2}x\ =\ 0\ \ \ \ \ \ \ |\ -1$ $-\frac{20}{v^2}x=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ \cdot\left(-\frac{v^2}{20}\right)$ $x=\frac{v^2}{20}$

Und dann ist

$f''\left(x\right)\ =-\frac{20}{v^2}<0\$

weshalb das dann auch ein Hochpunkt ist. Warum Du dauernd von "TP" schreibst, wenn nach der Ortskurve der Hochpunkte gefragt wird, verstehe ich nicht ganz. Eine nach unten geöffnete Parabel hat überhaupt keine Tiefpunkte.

Damit ergibt sich dann auch:

$f\left(x_v\right)=2+\frac{v^2}{20}-10\cdot\frac{v^4}{400\cdot v^2}=2+v^2\cdot\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{40}\right)=2+\frac{v^2}{40}$

Die Hochpunkte haben also die Koordinaten:

$H\left(\frac{v^2}{20};\ 2+\frac{v^2}{40}\right)$

und damit ergibt sich für die Ortskurve g(x):

$v^2=20\cdot x\ \rightarrow\ g\left(x\right)=2+\frac{20\cdot x}{40}=\frac{1}{2}x+2$

Comments

[Hdbaksjdbend]

Waren zwar dumme Fehler, aber trotzdem vielen Dank!