Hab ich die Matheaufgabe zum Thema Steckbriefaufgaben in der Analytische Geometrie richtig bearbeitet?
Wenn die Funktion zum Ursprung Punktsymmetrisch ist, hat sie nur ungerade Potenzen von x. Da die Funktion eine 5. Grades Funktion ist, muss sie folgendermaßen aussehen:
y = ax^5 + bx^3 + cx
Die Ableitung dieser Funktion ist:
y' = 5ax^4 + 3bx^2+ c
Da die Tangente an den Punkt O (0,0) die Gerade t: y = 7x ist, muss die Ableitung an dieser Stelle 7 sein:
y'(0) = 5a * 0^4 + 3b * 0^2 + c = 0
y'(0) = 5a * 0^4 + 3b * 0^2 + c = 7
Daraus folgt, dass 3b = 7, also b = 7/3. Wir können jetzt die Ableitung an der Stelle x=1 berechnen, um die Steigung an diesem Punkt zu erhalten:
y'(1) = 5a * 1^4 + 3b * 1^2 = 5a + 3b
Da wir wissen, dass der Punkt P (1,0) ein Wendepunkt ist, muss die zweite Ableitung an dieser Stelle Null sein:
y''(1) = 20a * 1^3 + 6b * 1 = 20a + 6b = 0
Daraus folgt, dass 20a + 6b = 0, also 20a = -6b, also a = -3/10. Wir können jetzt die endgültige Funktionsgleichung aufschreiben:
y = -3/10 x^5 + 7/3 x^3
