Graphen zweier Funktionen in einer Funktion überlagern - es funktioniert, aber warum?

Tach,

ich bin letztens auf eine interessante Entdeckung gestoßen, nämlich folgendes:

Sind y = f(x) und y = g(x) zwei Funktionen, dann ist

$\left(y-f\left(x\right)\right)\left(y-g\left(x\right)\right)=0\ \Leftrightarrow\ y=\frac{f\left(x\right)+g\left(x\right)\pm\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|}{2}$

die aus aus den Graphen von f und g entstehende Kurve.

Heißt so viel wie: Ich kann zwei Funktionsgraphen "aufeinanderkleben", indem ich die Funktionsgleichungen in die obige Gleichung einsetze. Veranschaulicht dargestellt:

$\left(y-\sin\left(x\right)\right)\left(y-\cos\left(x\right)\right)=0$

Es ist eine Kurve, hier zusammengesetzt aus der Sinus- und der Kosinuskurve.

Warum aber funktioniert das - wie könnte man das erklären? Es ist leider etwas, an dessen Erklärung ich ein kleines bisschen verzweifle ;-)

Liebe Grüße.

Answer 1

[bergquelle72]

Du mußt Dir nur mal den Bruch genauer ansehen.

Da steht für jedes x der Mittelwert aus f(x) und g(x) und dann addiertst du noch die Hälfte des Abstandes dazu bzw. subtrahierst.

D.h. du machst nix anderes als in einer Formel die Mitte darstellen und dann zweimal einen neuen Wert bestimmen, der genau zu f(x) und g(x) führt.

Comments

[Willibergi]

Tatsache. Na da hätte ich auch selbst drauf kommen können. Ich hatte mich zu sehr in die erste Gleichung verbissen - aber so ist es natürlich klar. Herzlichen Dank!