Fallender und steigender graf?

Hallo, wir schreiben morgen einen Mathe Test und ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter wvoelleicht kann jemand helfen?

y=x^-18x+80

^ -> hoch 2

man soll sagen in welchem Bereich der Graph fällt und steigt, das Problem ist ich weiß nicht wie ich das auflösen soll damit ich das dann ablesen kann?

Answer 1

[mihisu]

Mit quadratischer Ergänzung kann man die Gleichung in Scheitelpunktform umformen:

$y=x^2-18x+80$

$y=x^2-2\cdot x\cdot9+9^2-9^2+80$

$y=\left(x-9\right)^2-9^2+80$

$y=\left(x-9\right)^2-81+80$

$y=\left(x-9\right)^2-1$

Der Leitkoeffizient (Öffnungsfaktor der Parabel) ist 1. Denn man könnte in der Gleichung auch eine 1 ergänzen:

$y=1\cdot\left(x-9\right)^2-1$

Da der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Links vom Scheitelpunkt fällt der Graph, rechts vom Scheitelpunkt steigt der Graph. Den Scheitelpunkt (9 | -1) kann man an der Scheitelpunktform ablesen.

Demnach fällt der Graph also im Bereich x ≤ 9. Und der Graph steigt im Bereich x ≥ 9.

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Wenn du bereits Ableitungen kennst, kann man auch einfach die Gleichung ableiten:

$y=x^2-18x+80$

$y'=2x-18$

Für x ≤ 9 ist y' ≤ 0. Die Funktion ist in dem entsprechenden Abschnitt also monoton fallend, der Graph fällt.

Für x ≥ 9 ist y' ≥ 0. Die Funktion ist in dem entsprechenden Abschnitt also monoton steigend, der Graph steigt.

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Hier übrigens eine Skizze:

Answer 2

[flummi03]

Du berechnest die Ableitung, die ist in diesem Fall 2x-18. Die Ableitung ist positiv falls der Graph steigt und negativ, falls er fällt. 2x-18 ist für x<9 negativ und für x>9 positiv. Also sinkt der Graph bis zur Stelle x=9 und steigt danach.

Answer 3

[selincooo]

da gibt es eine App namens “Geogebra”. Gib die Gleichung ein und dann kannst du einfach ablesen