Tangente bestimmen, die bestimmten Punkt schneidet?
Man hat einen Graphen f(x)= -1/2x^2 +8,
und man will wissen welche der Tangenten dieses Graphens den Punkt S(5|0) schneidet.
Wie geht man vor? Der Punkt, an dem die Tangente den Graphen berührt ist unbekannt.
Zur Hilfe:
Tangentengleichung: y= f‘(u)•(x-u)+f(x)
2 Antworten
Hier gibt es im wesentlichen zwei Möglichkeiten:
1.
Man nimmt die allgemeinste Gleichung einer Geraden, die durch den genannten Punkt läuft, und berechnet die Schnittpunkte mit dem Graphen der gegebenen Funktion.
Für diejenigen Geradenparameter, wo "zwei Schnittpunkte zusammenfallen", haben wir eine Tangente.
2.
Man bestimmt die allgemeine Tangentengleichung und bestimmt, für welchen Parameter die Tangente den gegebenen Punkt schneidet.
Ich danke euch beiden wirklich, ich würde es verstehen, wenn wir es im unterricht behandelt hätten also wird es schon nicht allzu wichtig sein😅
Wenn wir die allgemeine Gleichung der Tangenten an den Graphen von f haben, ist natürlich jede der Geraden, die durch diese Gleichung beschrieben wird, eine Tangente an den Graphen von f.
Oooohhh,ikke hab da einen schweren Fehler gemacht,weil ikke nich überprüft habe,ob der Punkt auf der Funktion. f(x)=-1/2*x²+8 liegt.
Hier ist der Aufgabentype,daß die Tangente durch den Punkt P(5/0) gehen soll und dann die Funktion f(x)=-1/2*x²+8 im Punkt Pt(xo/f(xo) berühren soll.
Man benutzt dann die selbe Formel
ft(xo)=0=f´(xo)*(5-xo)+f(xo)
f´(xo)=-1*xo und f(xo)=-1/2*xo²+8
0=-1*xo*(5-xo)+(-1/2*xo²+8)
0=-5*xo+xo²-1/2*xo²+8
0=1/2*xo²-5*xo+8 Nullstellen bei xo1=2 und xo2=8
Probiere mal xo=8 aus
1) zeichne die Funktion f(x)=-1/2*x²+8 Parabel nach "unten" offen
Nullstellen bei x1,2=+/- Wurzel(8/0,5=+/- 4
bedeutet dei Nullstelle x=4 liegt "links" neben den Punkt P(5/0)
Da die Gerade yt=m*x+b durch P(5/0) gehen muß,ist die Steigung m=negativ
und berührt f(x)=-1/2*x²+8 bei xo=8
Prüfe das mal nach.
Wäre gut wenn es an einem Beispiel belegt werden kann, verstehe es nämlich so nicht ganz..
f(x) = x^2
P = (2; 3)
1.
Gerade durch P:
g(x) = m * (x-2) + 3
Schnitt der Graphen:
f(x) = g(x)
x^2 = m * (x-2) + 3
x^2 + (-m) x + (2 m - 3) = 0
x1 = m/2 + Wurzel(m^2/4 - 2 m + 3)
x2 = m/2 - Wurzel(m^2/4 - 2 m + 3)
Die Schnittpunkte fallen genau dann zusammen, wenn die Wurzel verschwindet, also für
m^2 / 4 - 2 m + 3 = 0
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Im allgemeinen ist die andere Herangehensweise einfacher:
Tangente in x0:
t(x) = f(x0) + (x-x0) * f'(x0)
soll durch P gehen:
t(x_P) = y_P
umformen und einsetzen:
x0^2 + (x_P-x0) * 2 x0 = y_P
x0^2 + (2-x0) * 2 * x0 = 3
nach x0 auflösen
Die beiden Lösungen, in die Tangentengleichung eingesetzt, ergeben die beiden Tangenten durch P an den Graphen von f
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt
Kapitel Differentialgeometrie
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
mit P(5/0) ist xo=5
f(x)=-1/2*x²+8 ergibt f(xo)=f(5)=-1/2*5²+8=-4,5
f´(x)=-2/2+x=-1*x
f´(xo)=f´(5)=-1*5=-5 eingesetzt
yt=ft(x)=-5*(x-5)+(-4,5)=-5*x+25-4,5
Tangentengleichung yt=ft(x)=-5*x+20,5
Okay danke, ist diese Formel trotzdem benutzbar, obwohl der Punkt s(5|0) nicht auf dem Graphen liegt ?
Und bei 2. : Die Tangente muss ja trotzdem eine des Graphen sein. Muss man dann nicht den Graphen irgendwie mit einbinden?