Stetigkeit der Betragsfunktion an der Stelle 0
Hallo, bin gerade am Mathe lernen und einfach nur total durcheinander, weshalb ich wohl auch so eine bescheuerte Frage stelle:
Warum ist die Betragsfunktion bei x0=0 stetig?
Die Kriterien für Stetigkeit sind doch:
x0 ist Element D (das ist ja kein Problem)
f ' (x0) existiert
Aber genau das macht es doch gar nicht?!
f(x)= /x/
--> f1(x) = x, wenn x>=0
f2(x) = -x, wenn x< 0
--> f 1' (x0) = 1
f2 ' (x0) = -1
d.h. links- und rechtsseitiger GW sind nicht gleich, d.h. es existiert keiner. Also nicht stetig. Müsste es aber laut Heft (und Buch) sein.
3 Antworten
> "f'(x0) existiert"
Das ist keine notwendige Bedingung für Stetigkeit, sondern eine hinreichende.
D.h., es gilt zwar
f'(x0) existiert => f ist stetig in x0.
Aber das gilt nicht umgekehrt. Eine Funktion kann in einem Punkt stetig sein, aber nicht differenzierbar. Die Betragsfunktion ist ein Beispiel dafür.
Schau dir noch mal an, wie Stetigkeit definiert ist. Es ist leicht zu sehen, dass die Betragsfunktion stetig ist, auch für x=0.
beim zweiten mal lernen fürs Abi hab ichs dann auch verstanden :-D
warum ist f(x)=|x| stetig?
Weil lim x->0- (-x)=-0=0 und
lim x->0+ (+x) = +0=0
und beides gleich ist :-)
Nicht notwendig.
Die Betragsfunktion ist für x=0 stetig, aber nicht differenzzierbar.