Mathe Ganzrationale Funktion Funktionsgleichung?
Bestimmen Sie jeweils die zugehörige Funktionsgleichung. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T(1|-1) einen Tiefpunkt und in H(-1|3) einen Hochpunkt.
Ich kann soweit alle 4 Gleichungen mit den Bedingungen bestimmen, jedoch kriege ich es nicht hin Sie aufzulösen. Es bleibt irgendwie immer d übrig.
4 Antworten
Lösung ist f(x)= x^3 - 3 *x +1
Mit den 2 Punkten,hat man 2 Gleichungen und die Ableitun liefert nochmal 2 Gleichungen.
Dies ergibt ein "lineares Gleichungssystem " (LGS) mit 4 Unbekannten und 4 Gleichungen,also lösbar
f(x)= a3 *x^3 + a2 *x^2+a1 *x +ao abgeleitet
f´(x)=3 *a3 *x^2 + 2 *a2 * x +a1
1. a3 *1^3 +a2 *1^2+a1 *1 + 1 *ao= - 1 aus Pmin
2. a3 *(-1)^3 +a2 * (-19^2 +a1 *(-1) +1 *ao=3 aus Pmax
3. a3 * 3 * 1^2 +a2 * 2 *1 + 1 *a1 + 0 * ao= 0
4. a3 * 3 * (- 1)^2 + a2 *2 *(- 1) +1 * a1 + 0 * ao= 0
Dies schreiben wir nun in das LGS um
1. 1 *a3 + 1 *a2 +1 *a1 + 1 *ao=- 1
2. (- 1) *a3 +1*a2 - 1 *a1 +1 *ao=3
3. 3 * a3 + 2 *a2 +1*a1 +0 *ao=0
4. 3 *a3 - 2*a2 + 1*a1 + 0 *ao= 0
Lösung mit meinen Graphikrechner (Casio)
a3=1 und a2=0 und a1= - 3 und ao=1
ergibt die Funktion f(x)= x^3 - 3 *x +1
Hallo,
am besten stellst Du eine Matrix auf, indem Du a, b, c und d gar nicht aufschreibst, sondern nur die Faktoren und die Ergebnisse.
So kommst Du auf
1 1 1 1 | -1
-1 1 -1 1 | 3
3 2 1 0 | 0
3 -2 1 0 | 0
Nun addierst Du Zeile 2 zu Zeile 1
Die neue Zeile 2 lautet dann 0 2 0 2| 2 oder 0101|0 Du kannst durch 2 kürzen.
Zeile 3 ziehst Du vom Dreifachen von Zeile 1 ab:
0 1 2 3|-3
Ebenso Zeile 4:
0 5 2 3|-3
Nun hast Du an der ersten Stelle von Zeile 2, 3 und 4 jeweils eine Null stehen.
Das Gleiche machst Du mit Zeile 2 und 3 sowie Zeile 2 und 4, so daß Zeile 3 und 4 auch an zweiter Stelle eine Null haben.
Am Schluß verrechnest Du Zeile 3 und 4.
Dann hast Du in Zeile 4 3 Nullen und an vierter Stelle eine Zahl, die der Faktor von d ist. Teilst Du das Ergebnis der vierten Zeile durch diesen Faktor, hast Du den Wert für d, den Du in Zeile 3 einsetzen kannst usw.
Man nennt das Gauß-Verfahren. Es reicht, wenn im unteren Teil der Matrix ein Dreieck aus Nullen entsteht. Durch Einsetzen des jeweils errechneten Wertes in die anderen Zeilen lassen sich die anderen Werte auch bestimmen.
f(x)=x³-3x+1 ist die gesuchte Funktionsgleichung.
Herzliche Grüße,
Willy
Liegt es an der Technik?
Guck mal hier und frag, wenn noch was unklar ist:
http://dieter-online.de.tl/4-Unbekannte--k1-Steckbrief-3-.--Grades-k2-.htm
Und auch:
http://dieter-online.de.tl/Additionsverfahren-d--3-Unbekannte--k1-LGS-k2-.htm
Gerade d ist normalerweise als erstes weg. 2 Gleichungen aus 2 Punkten reichen doch schon.
Gerade d ist normalerweise als erstes weg. 2 Gleichungen aus 2 Punkten reichen doch schon.
Der zweite Durchlauf aus den Ableitungen schafft c weg.
Dann sind nur noch a und b zu finden.
Und zwei Gleichungen sind gewöhnlich noch vorhanden.
Wie lauten denn deine vier Gleichungen? :)
LG Willibergi
Das ist ja schon mal ein Fortschritt, denn alle Gleichungen sind korrekt.
I. a + b + c + d = -1
II. -a + b - c + d = 3
III. 3a + 2b + c = 0
IV. 3a - 2b + c = 0
Woran hängt's denn? Zeig doch mal deinen Rechenweg her, dann kann ich dir sagen, wo der Fehler liegt. :)
LG Willibergi
Wenn diese Gleichungen OK sind, brauche ich gar nichts mehr zu schreiben. Da ist doch alles.
III minus IV schmeißt c raus, bleiben a und b.
Mit Summe und Differenz I,II gewinnt man eine weitere Beziehung für a und b.
Die rechnet man aus und dann sukzessive von unten nach oben c und d.
Wenn manchmal gleich zwei wegfallen, muss man halt etwas nachdenken.
Ich will dann 2 dieser Gleichungen nehmen und mit Hilfe des Additionsverfahren addieren. Nur scheitere ich dann immer bei der Auflösung nach einer Variable.
Das bringt nicht viel. Das Additionsverfahren kann (sollte!) hier nur einmal angewendet werden, entweder I + II oder III + IV.
Denn bei I + II werden a und c eliminiert, bei III + IV eben b.
Deshalb würde ich einmal das Additionsverfahren anwenden und dann mithilfe des Einsetzungsverfahrens die anderen Variablenwerte bestimmen.
LG Willibergi
habe bei B=0 raus und bei C=-3a komme dann aber nicht weiter da dann irgendwie alles 0 ergibt
da dann irgendwie alles 0 ergibt
Konkretisiere dich doch bitte ein bisschen. c = -3a ist richtig.
LG Willibergi
Noch eine letzte Frage: Wie gehe ich vor, wenn ich den Grad der Funktion habe und nur 4 normale Punkte auf dem Graphen und keine Hoch oder Tiefpunkte?
Dann setzt du einfach die Punkte in die Funktionsgleichung ein.
Liegt (5 | 12) auf dem Graphen, so gilt:
12 = a*5³ + b*5² + c*5 + d
12 = 125a + 25b + 5c + d
Das machst du mit allen Punkten so und erhältst vier Gleichungen mit jeweils vier Variablen. :)
LG Willibergi
Die aus den Punkten stammenden Gleichungen: a + b + c + d = -1 -a + b - c + d = 3 Die aus der Ableitung errechneten: 3a + 2b + c = 0 3a - 2b + c = 0