Hallo zusammen,
ich habe soweit die Eigenschaften einer Relation verstanden, allerdings gibt es Fälle wo ich trotzdem nachdenken muss. Ich zähle also diese Fälle auf und wäre sehr dankbar, wenn mir die Jemand erklären könnte. Ich werde also für Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität Fälle nennen:
Wir betrachten folgende Menge X={a,b,c}
Reflexive Relation:
reflexiv, wenn für alle x ∈ X gilt x ρ x,
R1 = { (a,a), (b,b), (a,c) }
Man sieht, dass (a,a),(b,b) in R1 liegen, aber (c,c) fehlt. Damit R1 reflexiv sein kann, muss jedes Element zu sich in Relation stehen?
Symmetrische Relation:
symmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X mit x ρ y gilt y ρ x,
R2= { (a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (a,c) }
Auch hier sieht es symetrisch aus, aber (c,a) fehlt. Reicht es also aus zu sagen, dass R2 nicht symmetrisch ist, weil (c,a) nicht in R2 liegt?
Antisymmetrische Relation:
antisymmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X mit x ρ y und y ρ x gilt x = y,
R2= { (a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (a,c) }
Auch hier habe ich bewusst (c,a) rausgelassen. In der Definition steht wenn für alle x, y ∈ X mit x ρ y und y ρ x gilt x = y. Damit ist doch nur diejenigen x,y gemeint die symmetrisch sind, es ist aber doch trotzdem "erlaubt" ein Paar zu haben, das nicht symmetrisch ist wie z.B (a,c)?
Und noch eine weitere Frage, wir haben ja Paare (a,b), (b,a), (b,c), (c,b) die Symmetrisch sind aber WOHER weiß ich ob a=b daraus folgt oder nicht? - Ich meine es ist doch nicht definiert um welche Relation es sich genau handelt handelt. Z.B wenn es um Parallelität gehen würde, dann wäre die Gerade a parallel zu b und umgekehrt, aber es heißt ja lange nicht dass a=b gilt. in R2 weiß man aber nichtmal um welche Relation es sich handelt.
Transitive Relation:
transitiv, wenn für alle x, y, z ∈ X mit x ρ y und y ρ z gilt x ρ z.
Angenommen wir haben eine Menge Y={ a, b, c, d }
R3={ (a,b), (b,c), (a,c), (b,d) }
Wir haben hier z.b (a,b), (b,c), (a,c) was transitiv ist, allerdings fehlt in der Menge Y das Paar (a,d). Bedeutet, dass diese Relation nicht transitiv ist, weil das einzige Paar (a,d) fehlt?
