Antisymmetrie?
Hallo zusammen,
wenn man eine Menge X = { a, b } gegeben hat und eine Relation R = { (a,a), (b,b) }. Ist sie denn Antisymmetrisch?
Für hilfreiche Antworten wäre ich sehr dankbar!
2 Antworten
Ja.
======Begründung======
Damit die Relation antisymmetrisch ist, muss nach Definition für alle x, y ∈ X mit (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R folgen, dass x = y ist.
Im konkreten Fall hat man nur zwei Elemente sodass man nicht allzu viele Fälle für x, y ∈ X untersuchen muss...
Nein.
Erst einmal: Ja, die Relation ist auch reflexiv. Aber Reflexivität und Antisymmetrie schließen sich nicht gegenseitig aus. Die betrachtete Relation ist reflexiv, aber eben auch antisymmetrisch.
Dann steht in der Definition auch nirgends, dass x ρ y und y ρ x [also (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R] sein muss. Das muss nicht der Fall sein. Es heißt da nur, dass wenn das der Fall ist, dann muss x = y sein.
Bedenke: Damit eine Implikation A ⇒ B wahr ist, muss nicht unbedingt A wahr sein. Denn auch wenn A falsch ist, ist A ⇒ B (immer) wahr.
Hey danke für die Antwort, könntest du viellt noch sagen, ob Relation R= {(x,x),(y,y)} auch transitiv ist? Weil die Definition von Transitivität sagt, dass man dafür mindestens (?) 3 Elemente benötigt. Auf der Menge X = { x,y } haben wir aber kein z enthalten.
Für antisymetrisch gilt: Wenn (x,y) drin ist, darf (y,x) nicht drin sein. Ausgenommen wenn x und y gleich sind. Da hier nur (a,a) und (b,b) drin sind, ist deine Relation zugleich symetrisch und antisymetrisch.
Sagt denn die Definition "antisymmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X mit x ρ y und y ρ x gilt x = y" nicht, dass (a,b),(b,a) in der Menge enthalten sein muss, damit es antisymmetrisch ist? Weil die Menge mit (a,a),(b,b) sieht reflexiv aus?!
Das ist zwar durchaus richtig überlegt. Aber reflexiv ist ja nur eine von mehreren Eigenschaften. (a, b) ist ja hier nicht drin, deswegen gibt es auch keine Vorschrift für (b,a), unter der Annahme, dass die Relation (anti)symetrisch ist. Die Relation ist sogar transitiv. Nur es gibt halt nicht mehr als (a,a) => (a,a) und das Gleiche für b zu überprüfen.
Du meinst, dass die relation R= { (a,a), (b,b) } sogar transitiv ist?
Ja. Aber frag mal besser den anderen User nochmal, der deine Frage weiter oben beantwortet hat.
Hab tutor gefragt und die relation R ist nicht transitiv. Ich glaube bei schweren Fragen meldet sich niemand:D
Sagt denn die Definition "antisymmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X mit x ρ y und y ρ x gilt x = y" nicht, dass (a,b),(b,a) in der Menge enthalten sein muss, damit es antisymmetrisch ist? Weil die Menge mit (a,a),(b,b) sieht reflexiv aus?!