Wie löse ich diese Extremwertaufgabe (bitte mit Erklärung)?
Hallo. Folgendes Problem:
Ich zerbreche mir den Kopf über diese Aufgabe. Ich verstehe nicht wie ich sie lösen kann, habe zwar eine halbe Lösung aber kann irgendwie nicht mal mehr nachvollziehen wie ich beim berechnen den Satz des Pythagoras verwendet habe. Würde mich sehr über eine Lösung & Erklärung freuen, Mit freundlichen Grüßen Cuba!
Hier die Aufgabe und Bild:
Der Deckel einer Käseglocke hat die Form einer Halbkugel mit Radius 10cm. Wie groß kann das Volumen eines zylinderförmigen Käsestücks maximal sein, wenn es mit der Grundfläche aufliegt und unter die Käseglocke passen soll?
2 Antworten
Da würde ich eigentlich gar nicht rechnen wollen. Du hast eine Kreisfunktion
und wenn du die 1. Winkelhalbierende los laufen lässt, die die Funktion f(x) = x darstellt, den Schnittpunkt errechnest, dann hast du die perfekte x Koordinate für die größe Fläche. Das ist dann das Quadrat in deiner Skizze.
Die aufwändigere Variante wäre die Extremalbedingung für die rechte Hälfte des Halbkreises aufzustellen
A(x , r(x) ) = x * r(x)
Dann darfst du wieder einsetzen und davon den Hochpunkt finden. Die Funktion A(x , r(x) ) ist dann die orangene Kurve
Dessen Hochpunkt bei x = 7,07 gibt die Stelle x an wo die Käseecke die Glocke berührt. Den Hochpunkt findest du wenn du die abgeleitete Flächenfunktion gleich Null setzt und nach x auflöst, also x = 7,07
A'(x) = 0
Das gesamte Käsestück hat dann die Maße
a * b = (2*7,07) * 7,07
Kreisformel ist x^2 + y^2 = r^2, für r 10 einsetzen, dann nach y auflösen
Ich hätte es so gerechnet:
Danke für die ausführliche und schnelle Antwort. Nur kurz: stehe mega auf dem Schlauch. Wie bin ich auf das r(x)=wurzel[10^2-x^2] gekommen?