Hi,
Ziel ist es zu beweisen, dass f(x1,x2) = x1 * x2 quasi-konkav auf Set S = ℝ++^2.
Ich habe mit der Definition begonnen:
y = f(x) ist quasi-konkav auf einem konvexen Set S genau dann, wenn a, b ∈ S mit f(a) ≥ c und f(b) ≥ c und:
f(ta + (1-t) f(b)) ≥ c
Also in diesem Fall:
[t * a1 + (1-t) * b1 * b2] * [t * a2 + (1-t) * b1 * b2] ≥ c
Da gelten muss, dass f(b) ≥ c, könnte ich doch mal versuchen f(b) = b1 * b2 durch c zu ersetzen, richtig?
[t * a1 + (1-t) * c] * [t * a2 + (1-t) * c] ≥ c
und dann müsste man wahrscheinlich ausmultiplizieren:
t^2 * a1 * a2 + t * a1 * (1-t) * c + (1-t) * c * t * a2 + (1-t)^2 * c^2 ≥ c
Da ebenfalls gelten muss, dass f(a) ≥ c, habe ich nun f(a) = a1 * a2 durch c ersetzt.
t^2 * c+ t * a1 * (1-t) * c + (1-t) * c * t * a2 + (1-t)^2 * c^2 ≥ c
c ausklammern:
c * [t^2 + t * a1 * (1-t) + (1-t) * t * a2 + (1-t)^2 * c] ≥ c
dann vielleicht t und (1-t) in der Mitte ausklammern:
c * [t^2 + t * (1-t) (a1 + a2) + (1-t)^2 * c] ≥ c
Nun müsste man nur noch beweisen, dass [t^2 + t * (1-t) (a1 + a2) + (1-t)^2 * c] ≥ 1 ist. Aber das gelingt mir dann nicht mehr.
Hat jemand ein Tipp oder weiss wie man das noch beweisen kann?
