Mathematik Frage lineare Abbildung?

Welche Matrixdarstellung A (bez¨uglich der nat¨urlichen Basis) hat die lineare Abbildung

ϕ, die den Raum R3 auf die Ebene E := {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y − 2z = 0} projiziert?

Ich komme da einfach nicht weite :(

Answer 1

[mihisu]

Die Abbildung φ ist hier gar nicht eindeutig definiert. Es gibt mehrere Projektionen auf die Ebene E, die möglich sind. Ich vermute mal, dass nicht irgendeine Projektion gemeint ist, sondern dass die entsprechende Orthogonalprojektion gemeint ist, oder?

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion

======Einschub======

Ein Beispiel für eine andere Projektion, welche nicht der Orthogonalprojektion entspricht...

Man könnte die Projektion in z-Richtung betrachten. Also die x- und y-Koordinaten beibehalten und die z-Koordinate wegen

$2x-y-2z=0\quad \Leftrightarrow\quad z=x-\frac{1}{2}y$

zu x - y/2 abändern, damit man in der Ebene E landet. Die entsprechende Abbildung wäre dann

$\varphi:\ \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3,\quad\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x\\y\\x-\frac{1}{2}y\end{pmatrix}\text{.}$

Wegen

$\begin{pmatrix}x\\y\\x-\frac{1}{2}y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1x+0y+0z\\0x+1y+0z\\1x-\frac{1}{2}y+0z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & -\frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}z\\y\\z\end{pmatrix}$

würde man dann

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & -\frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}$

als Matrixdarstellung bezüglich der natürlichen Basis erhalten.

======Ende des Einschubs======

Nun zur Orthogonalprojektion...

Ein Normalenvektor der Ebene E lässt sich direkt anhand der Koeffizienten in der Ebenengleichung ablesen...

$\vec{n}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$ Nun kann man den entsprechenden Richtungsanteil eines Ortsvektors

$\vec{r}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

in dieser Richtung bestimmen...

$\frac{\left\langle \vec{n}, \vec{r}\right\rangle}{\left\langle \vec{n}, \vec{n}\right\rangle}\cdot \vec{n}$

Wenn man diesen Anteil vom Ortsvektor subtrahiert, erhält man den entsprechenden Bildpunkt der Orthogonalprojektion in der Ebene E...

$\varphi(\vec{r})=\vec{r}-\frac{\left\langle \vec{n}, \vec{r}\right\rangle}{\left\langle \vec{n}, \vec{n}\right\rangle}\cdot \vec{n}$

Im konkreten Fall dann also...

$\varphi(\vec{r})=\vec{r}-\frac{2x-y-2z}{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}\cdot \vec{n}$

$=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\frac{2x-y-2z}{9}\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{4}{9}x-\frac{2}{9}y-\frac{4}{9}z\\-\frac{2}{9}x+\frac{1}{9}y+\frac{2}{9}z\\-\frac{4}{9}x+\frac{2}{9}y+\frac{4}{9}z\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}y+\frac{4}{9}z\\\frac{2}{9}x+\frac{8}{9}y-\frac{2}{9}z\\\frac{4}{9}x-\frac{2}{9}y+\frac{5}{9}z\end{pmatrix}$

$=\underbrace{\begin{pmatrix}\frac{5}{9} & \frac{2}{9} & \frac{4}{9}\\\frac{2}{9} & \frac{8}{9} & -\frac{2}{9}\\\frac{4}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{5}{9}\end{pmatrix}}_{A}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{\vec{r}}$

Dementsprechend erhält man für die gesuchte Matrix dann...

$A=\begin{pmatrix}\frac{5}{9} & \frac{2}{9} & \frac{4}{9}\\\frac{2}{9} & \frac{8}{9} & -\frac{2}{9}\\\frac{4}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{5}{9}\end{pmatrix}$