Wie lange braucht ihr für die Rechenaufgabe?
Für alle positiven, reellen x-Werte erfüllt die Funktion f die Gleichung Welchen Wert (von a abhängig) hat f(1)? Gib zusätzlich den Wert an, wenn a=50 gilt.
Diese Aufgabe stammt (von mir leicht abgewandelt) aus dem Känguru der Mathematik aus dem Jahre 2010. Ich selber habe, weil ich diesen Aufgabentyp gerne mache, nicht wirklich lange gebraucht und fand sie eher trivial.
2 Antworten
Sei a≠0. Setze x=1 und x=a in die Gleichung ein und man erhält:
2*f(a) + 3*f(1) = 5a
2*f(1) + 3*f(a) = 5
Das ist ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, welches zu f(1) = 3a-2 führt.
Für a=50 ist also f(1) = 148.
Sei a= 0.
Dann erhält man die Gleichung
2*f(x) + 3* f(0) = 5x
Also f(x) = 5/2 * x -3/2 * f(0).
f(1) kann also dann nicht bestimmt werden.
Brauchte schätze ich 10 Minuten dafür, war aber nebenbei aber auch mit was anderem beschäftigt.
Ah ich sehe es :D 10 Minuten für nur nebenbei ist schon gut, obwohl man ja für den ganzen Känguru nur 75(oder waren es 90?) Minuten Zeit hat.
Wenn a = x = 1 setzt, erhält man
2 f(1) + 3 f(1) = 5 * 1 <=> f(1) = 1.
Wenn man nun a = 50 und x = 1 setzt, erhält man ebenfalls
2 f(1) + 3 f(50) = 5 * 1 <=> f(50) = 1.
Gebraucht habe ich dafür geschätzt zwei bis drei Minuten (hatte Brett vorm Kopf).
Aber es ging ja darum, f(1) in Abhängigkeit von a zu finden. Also einen Term für f(1) der von a abhängig ist
Keine Ahnung wie das gehen soll. a taucht doch nur im Argument von f auf. Wenn man also f(1) haben möchte, muss man a = x setzen.
Oh, du kommst auf 3a-10.. ich komme auf 3a-2.
Rechne die erste Gleichung *3, du untere *2 und subtrahiere. Du kommst auf 3*3f(1)-2*2f(1)=15a-10 <=> 5f(1)=15a-10 <=> f(1)=3a-2