Wie berechne ich das orthogonale Komplement?
Hallo, bereite mich gerade auf die Prüfung vor, komme aber nicht weiter.
Ich habe einen Unterraum W im R³, der von den Vektoren x=(7/5/6) und y=(1/-2/1) aufgespannt wird. Jetzt wollte ich das orthogonale Komplement zu W berechnen. HAbe schon in anderen Foren geschaut, aber irgendwie steige ich da nicht durch. Kann mir jemand eine Anleitung geben, wie man das Komplement berechnet? (am besten für Dummies =) )
Vielen Dank schon mal im Voraus.
2 Antworten
Das orthogonale Kompliment besteht aus allen Vektoren, die zu den genannten Vektoren senkrecht sind. Da der von den Vektoren x und y aufgespannte Unterraum die Dimension 2 hat, ist der ortogonale Unterraum von der Dimension 1. Man braucht also nur einen zu x und y senkrechten (von 0 verschiedenen) Vektor z zu finden, und das gesuchte orthogonale Kompliment besteht aus allen vielfachen dieses Vektors z. Am einfachsten findet man einen solchen Vektor, indem man das Kreuzprodukt von x und y berechnet. Dies findet man in jeder Formelsammlung. Hier ist das Kreuzprodukt gleich z=(17/-1/-19). Das gesuchte orthogonale Kompliment ist also c * (17/-1/-19) wobei der Parameter c alle reellen Zahlen duchläuft.
Kennst du das Kreuzprodukt nicht, kannst du das auch z.B. mit dem Skalarprodukt berechnen. Die Bedingung für die senkrechten Vektoren (u/v/w) sind dann: (7/5/6) * (u/v/w) = 0 und (1/-2/1) * (u/v/w) = 0. Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen nämlich 7u+5v+6w=0; u-2v+w=0 Man erhält also wieder einen Lösungsraum der Dimension 1. Die Lösung kann z.B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren geschehen. Setzt man w=-u+2v (aus der 2. Gleichung) in die 1. Gleichung ein erhält man u+17v=0 also u=-17v und w=-(-17v)+2v=19v. Folglich ist der gesuchte Unterraum (u/v/w)=(-17v / v / 19v)=v * (-17 / 1 / 19) , wobei v wiederum alle reellen Zahlen durchläuft. Dies ist dasselbe Ergebnis wie oben mit c=-v. Wie immer in der Mathematik musst du jeden einzelnen Gedankengang selbstständig nachvollziehen und durchdenken, um das vollständig zu verstehen.
Du musst alle Vektoren u suchen für die gilt:
Skalarprodukt von (u,x) und (u,y) gleich null.
hm.... hab das jetzt mal gemacht.
da habe ich ja das Gleichungssystem
0 = 7u(1) + 5u(2) + 6u(3) 0 = u(1) - 2u(2) + u(3)
dann habe ich den Gauß-Algorithmus angewendet:
0 = 7 u(1) + 5 u(2) + 6u(3) 0 = 19 u(2) - u(3)
aus der zweiten Gleichung folgt u(3) = 19 u(2) dieses in die erste Gleichung eingesetzt ergibt 0 = 7 u(1) + 119 u(2) also u(1) = - 17 u(2)
dann habe ich u(2) als Variable gleich t gesetzt, womit ich dann für den Vektor u folgendes erhalte: u(Vektor) = t * ( -17 / 1 / 19 )
da frag ich mich gerade ob das so richtig ist, denn eigentlich müsste ja eine Matrix rauskommen oder?
oder bin ich grad total falsch vorgegangen?