Wieso ist injektiv äquivalent dazu, dass linear unabhängig auf linear unabhängig abgebildet wird?

wieso ist injektiv äquivalent dazu, dass linear unabhängig auf linear unabhängig abgebildet wird

Answer 1

[DerRoll]

Nimm an die Abbildung f ist injektiv und linear (insbesondere bedeutet dies dass aus f(t) = 0 folgt t = 0. Warum?) und x und y linear unabhängig. Sei nun

a*f(x) + b*f(y) = 0

Warum muß dann auch a und b = 0 sein? Verwende die Linearität der Abbildung und dann die oben angeführte Bemerkung.

Nun mache die Umkehrung selbständig.

Comments

[Uwe65527]

Sorry, es ist nicht vorausgesetzt, dass die Abbildung auch linear ist.

[DerRoll]

@Uwe65527

Ups, stimmt.

[Uwe65527]

@DerRoll

Ja, sowas passiert manchmal. Aber Selberdenken schätze ich immer noch viel höher als chatgpt!

[DerRoll]

@Uwe65527

Nebenbei mußt du bei deiner Begründung noch zeigen dass die Urbilder tatsächlich verschieden sein müssen :-).

[NetterGau]

Warum gilt das denn? Kann nicht auch f(ax) + f(by) = 0 so gewählt sein, dass x und y nicht automatisch 0 sind?

[DerRoll]

@NetterGau

Erst mal, hast du nicht tatsächlich in deiner Antwort das "f ist linear" vergessen? Zweitens, nutze die Linearitätsbeziehung und das f injektiv ist aus. Bedenke, wenn f injektiv dann bedeutet f(x) = 0 x = 0 (warum?).

[NetterGau]

@DerRoll

Ja, habe ich vergessen

wenn f injektiv ist, wird nur die 0 auf die 0 abgebildet, das ist klar (einfache Umformung) aber warum folgt das daraus?

[DerRoll]

@NetterGau

Jetzt fasse doch mal richtig linear zusammen und bedenke zusätzlich das x und y linear unabhängig sind. Ganz ehrlich, das ist doch eine Frage für den Einstieg ins Studium. Da muß schon ein wenig von dir kommen.

Answer 2

[Uwe65527]

Angenommen, das wäre nicht so, dann gibt es im Definitionsnereich n linear unabhängige Vektoren. Wären die Bilder dieser linear unabhändigen Vertoren linear abhängig. Das heißt, das Bild eines dieser linear unabhängigen Vektoren lässt sich als Linearkombination der Bilder der anderen n-1 linear unabhängigen Vektoren darstellen. Damit hätte das Bild dieses Vektors zwei Urbilder, was der Definition von injektiv widerspricht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[DerRoll]

Wieso müssen die beiden so definierten Urbilder verschieden sein?

Answer 3

[FataMorgana2010]

Wenn es keine weiteren Eigenschaften der Funktion gibt, dann ist die Aussage im Allgemeinen nicht richtig.

Nimm z. B. den eindimensionalen R-Vektorraum R.

Jede beliebige Abbildung R->R bildet linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren ab (warum? R ist eindimensional. Es gibt also gar keine zwei verschiedenen linear unabhängigen Vektoren...), ist aber offenbar im Allgemeinen nicht injektiv.

Also: Steht da zufällig, dass deine Aussage für LINEARE Abbildungen gilt?