Wieso ist injektiv äquivalent dazu, dass linear unabhängig auf linear unabhängig abgebildet wird?
wieso ist injektiv äquivalent dazu, dass linear unabhängig auf linear unabhängig abgebildet wird
3 Antworten
Nimm an die Abbildung f ist injektiv und linear (insbesondere bedeutet dies dass aus f(t) = 0 folgt t = 0. Warum?) und x und y linear unabhängig. Sei nun
a*f(x) + b*f(y) = 0
Warum muß dann auch a und b = 0 sein? Verwende die Linearität der Abbildung und dann die oben angeführte Bemerkung.
Nun mache die Umkehrung selbständig.
Erst mal, hast du nicht tatsächlich in deiner Antwort das "f ist linear" vergessen? Zweitens, nutze die Linearitätsbeziehung und das f injektiv ist aus. Bedenke, wenn f injektiv dann bedeutet f(x) = 0 x = 0 (warum?).
Jetzt fasse doch mal richtig linear zusammen und bedenke zusätzlich das x und y linear unabhängig sind. Ganz ehrlich, das ist doch eine Frage für den Einstieg ins Studium. Da muß schon ein wenig von dir kommen.
Angenommen, das wäre nicht so, dann gibt es im Definitionsnereich n linear unabhängige Vektoren. Wären die Bilder dieser linear unabhändigen Vertoren linear abhängig. Das heißt, das Bild eines dieser linear unabhängigen Vektoren lässt sich als Linearkombination der Bilder der anderen n-1 linear unabhängigen Vektoren darstellen. Damit hätte das Bild dieses Vektors zwei Urbilder, was der Definition von injektiv widerspricht.
Wenn es keine weiteren Eigenschaften der Funktion gibt, dann ist die Aussage im Allgemeinen nicht richtig.
Nimm z. B. den eindimensionalen R-Vektorraum R.
Jede beliebige Abbildung R->R bildet linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren ab (warum? R ist eindimensional. Es gibt also gar keine zwei verschiedenen linear unabhängigen Vektoren...), ist aber offenbar im Allgemeinen nicht injektiv.
Also: Steht da zufällig, dass deine Aussage für LINEARE Abbildungen gilt?
Warum gilt das denn? Kann nicht auch f(ax) + f(by) = 0 so gewählt sein, dass x und y nicht automatisch 0 sind?