Wie kann man die folgende Gleichung nach x1 umstellen?


05.09.2023, 16:25

Es sollte natürlich "nach x1 bzw. x2 auflösen" heissen

Jangler13  05.09.2023, 16:55

Ist die Idee mit dem Lagrange Multiplikator von dir, oder ist das so vorgegeben? Denn es gibt einen simpleren weg.

shalom8495 
Beitragsersteller
 06.09.2023, 14:42

Ja das ist von mir, da wir gerade das Thema behandeln. Wäre aber auch an sonstigen Lösungen interessiert. Kannst du mir sagen, wie du vorgehen würdest? Danke!

1 Antwort

Ich habe mal ChatGPT bemüht.
das wurde ausgespuckt.
ich habe leider absolut keine Ahnung, was das ganze bedeutet..

Um die Optimierungsfunktion L(x1,x2,λ)=ax12+bx1x2+cx22−λ(x12+x22−r2)L(x1​,x2​,λ)=ax12​+bx1​x2​+cx22​−λ(x12​+x22​−r2) nach x2x2​ aufzulösen, können Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Das Ziel besteht darin, das Minimum oder Maximum von LL zu finden, unter der Nebenbedingung x12+x22=r2x12​+x22​=r2.

  1. Schreiben Sie die Lagrange-Funktion:
  2. L(x1,x2,λ)=ax12+bx1x2+cx22−λ(x12+x22−r2)L(x1​,x2​,λ)=ax12​+bx1​x2​+cx22​−λ(x12​+x22​−r2).
  3. Berechnen Sie die partielle Ableitung von LL nach x2x2​ und setzen Sie sie gleich null, um das Extremum zu finden:
  4. ∂L∂x2=2cx2+bx1−2λx2=0∂x2​∂L​=2cx2​+bx1​−2λx2​=0.
  5. Um nach x2x2​ aufzulösen, isolieren Sie x2x2​ in der obigen Gleichung:
  6. 2cx2−2λx2=−bx12cx2​−2λx2​=−bx1​.
  7. x2(2c−2λ)=−bx1x2​(2c−2λ)=−bx1​.
  8. x2=−bx12(c−λ)x2​=2(c−λ)−bx1​​.
  9. Beachten Sie, dass λλ die Lagrange-Multiplikator ist und durch die Nebenbedingung x12+x22=r2x12​+x22​=r2 bestimmt wird. Sie müssen daher auch die Nebenbedingung verwenden, um λλ zu finden.
  10. λ=ax12+bx1x2+cx22x12+x22−r2λ=x12​+x22​−r2ax12​+bx1​x2​+cx22​​.
  11. Nachdem Sie λλ gefunden haben, setzen Sie es in die Gleichung für x2x2​ ein, um den Wert von x2x2​ zu berechnen:
  12. x2=−bx12(c−ax12+bx1x2+cx22x12+x22−r2)x2​=2(c−x12​+x22​−r2ax12​+bx1​x2​+cx22​​)−bx1​​.

Dies ist die Lösung für x2x2​ unter Berücksichtigung der gegebenen Optimierungsfunktion und Nebenbedingung.