Monotonie beweisen Folge?
Wie beweisen ich die monotonie dieser Folge
an=8n / n^2 +1
Wie weise ich die monotonie nach mit der Differenz
an+1 -an < 0
Ich kriege es nicht hin es dann zu berechnen. Kann mir jemand das Ergebnis sagen?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
8n / n^2 +1 oder 8n / (n^2 +1)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Also es ist ein bruch im Zähler ist 8n und im Nenner n^2 +1
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eddiefox/1463264375441_nmmslarge__0_0_160_160_7f828fad18ee7edb96b8daceedaeeadb.jpg?v=1463264375000)
Hallo,
nur als Ergänzung:
Erklärung: die 8 wurde gekürzt, im zweiten Faktor wurden Zähler und Nenner durch n dividiert, und in der zweiten Zeile wurde der Zähler vergrößert, indem man 1/n durch 1 ersetzt hat.
Gruß
![- (Funktion, Gleichungen, Mathematiker)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/515773674/0_big.png?v=1694791774000)
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Im Zähler steht (n²+1), im Nenner n.
n im Zähler ausklammern: (n²+1) = n(n+1/n)
im Nenner steht immer noch n, jetzt n im Zähler gegen n im Nenner kürzen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eddiefox/1463264375441_nmmslarge__0_0_160_160_7f828fad18ee7edb96b8daceedaeeadb.jpg?v=1463264375000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/EdCent/1695234017606_nmmslarge__1443_134_1284_1284_c7f4e36b5c09a0ac13e315607e26a9d5.jpg?v=1695234018000)
Du kannst die Differenz nach einigen Umformungen so schreiben:
Da der Term für jede natürliche Zahl n negativ ist, fällt die Folge monoton.
![- (Funktion, Gleichungen, Mathematiker)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/515767239/0_big.png?v=1694785598000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/EdCent/1695234017606_nmmslarge__1443_134_1284_1284_c7f4e36b5c09a0ac13e315607e26a9d5.jpg?v=1695234018000)
8(n+1)/((n+1)²+1) - 8n / (n² +1)
=8•[ (n+1)/(n²+2n+2) - n/(n²+1) ]
=8• [ (n+1)(n²+1) - n(n²+2n+2) ] / [(n²+1)(n²+2n+2)]
Der Faktor 8 und der Nenner entspricht schon dem Ergebnis. Daher betrachte ich nur noch den Zähler.
[ (n+1)(n²+1) - n(n²+2n+2) ]
= n³+n+n²+1 - n³-2n²-2n
= -n²-n+1
=(n²+n-1) ✓
🤓
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Genau an die Differenz dachte ich auch. Aber ich verstehe nicht wie man vom Anfang der Differenz z.b. auf deins kommt also was macht man denn für Umformungen und wie
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Du bringst die Differenz a_(n+1) - a_n auf einen Nenner und vereinfachst den Zähler.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wo ist aber, als die 8 gekürzt wurde, das n im Nenner hin?