Ich soll zeigen dass die obere Aussage stimmt. Normalteiler haben wir so definiert, dass sie die Bedingung gH(g^-1) = H erfüllen müssen, d.h. ich muss nur noch zeigen, dass es sich bei gH(g^-1) um keine echte Teilmenge von H handelt, also gH(g^-1) ⊊ H eine falsche Aussage ist.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand Feedback zu meinem Beweis geben könnte:
Angenommen es gilt nun gH(g^-1) ⊊ H. Das heißt es existiert ein h0 aus H und ein g aus G mit der Eigenschaft, dass gh(g^-1) != h0 für alle h aus H.
Das hat zur Folge (da H gleichmächtig zu sich selbst ist), dass es ein h1 aus H und ein zugehöriges g aus G gibt, sodass
gh'(g^-1) = h1 und gh''(g^-1) = h1, also dass es bei dem selben g zwei Elemente h' und h'' aus H gibt, die auf das gleiche h1 abgebildet werden (Schubfachprinzip: Es gibt bei festen g kein h das auf h0 abgebildet wird, also muss ein h1 existieren, auf das zwei h, und zwar h' und h'' abbilden.)
Es folgt h1 = h1 <=> gh'(g^-1) = gh''(g^-1) <=> h' = h''.
Somit gibt es kein h1, auf das zwei verschiedene Elemente aus H abbilden. Somit kann es kein h0 mit obigen Eigenschaften geben es handelt sich oben um keine echte Teilmenge.
Findet jemand Fehler oder sind meine Schlüsse korrekt?
