Druckerfarben gehen nicht mehr?

Hallo,

von heute auf morgen gehen bei meinem HP OfficeJet Pro 6970 All-in-One die Farben nicht mehr. ich habe zunächst versucht.

Zunächst waren bunte Streifen bei den Farben zu sehen. Der Tintenstand hat aber gepasst. Ich habe dann über HP-Smart die Druckköpfe gereinigt, jedoch hat sich dadurch die Qualität eher verschlechtert. Inzwischen ist es so, dass Stellen, die eigentlich farbig sein sollten, einfach komplett blank sind, also wirklich nicht bedruckt.

Ich habe auch eine Testseite aus dem Internet gedruckt:
Das habe ich gedruckt:
https://www.superpatronen.de/media/image/de/49/17/test-chart-farbfelder-min6ToBkUzTBEVC7.jpg

Und das kam raus

Der Drucker selbst zeigt keinerlei Fehlermeldungen jeglicher Art, auch die Diagnose findet rein gar nichts. Der Tintenstand ist bei allen Farben über die Hälfte gefüllt. Wenn ich einfach nur schwarz/weiß drucke, funktioniert auch alles einwandfrei.

Ich habe jetzt erstmal neue Tinte bestellt und schaue, ob es vllt daran liegt. Jedoch würde ich ja erwarten, dass der Drucker selbstständig merken würde, dass die Patronen kaputt sind.

Die Patronen sind jedoch auch nicht eingetrocknet, weil der letzte Druck letzte Woche war und da noch alles perfekt lief. Auch die Tatsache, dass das Reinigen der Druckköpfe dafür gesorgt hat, dass aus schlechten Farben, gar keine Farben mehr werden, ist für mich verwirrend.

Ich würde mich freuen, wenn irgendjemand eine Idee hätte, woran das liegen kann und wie ich das beheben kann.

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Zahlentheorie: n-te Primzahl < exp(2^(n-1))?

Hallo, ich soll obige Ungleichung mittels Induktion unter Verwendung von Euklids Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlen zeigen. (Also der Beweis mit dem Produkt aller "endlichen" Primzahlen +1 wobei man dann zeigt, dass dieser Term einen Primteiler hat, der nicht in der endlichen Abzählung vorkommt)

 If p_n denotes the n-th prime (in ascending order), deduce by induction from Euclid’s proof of Theorem 1.2 that p_n < exp(2^(n−1)).

Ich habe diese Ungleichung auch bewiesen, aber ehrlich gesagt finde ich meinen Beweis sehr unschön, finde aber keine Verbesserung, auch wenn ich schon mehrere Stunden an der Aufgabe sitze. Mein Beweis per Induktion:

Indunktionsvoraussetzung mit n=1 ist klar. Induktionsannahme auch. Zum Induktionsschluss:

Sei p1,..,pn eine Abzählung der ersten n Primzahlen. Es gilt, dass p1p2..pn+1 einen Primteiler q hat, der noch nicht in dieser Abzählung vorkommt (das ist gerade der Beweis von Euklid zur Unendlichkeit). Da p1,..,pn die ersten n Primzahlen repräsentiert, folgt dass p(n+1) die kleine Primzahl ist, die ein Teiler von p1..pn+1 sein kann (insbesondere kann p1..pn+1 selbst prim sein).

Daraus folgt insgesamt p(n+1)<=p1..pn+1

Nun setze ich die Induktionsvoraussetzung ein und fasse zusammen:

p1..pn + 1 < exp(2^0)exp(2^1)...exp(2^(n-1)) + 1 =
exp(2^0 + 2^1 + ... + 2^(n-1)) +1

Nun erkennt man, dass im Exponenten gerade die geometrische Summe mit x=2 von k=0 bis n-1 steht. Diese Summe entspricht (1-2^n)/(1-2). Das lässt sich vereinfachen zu (2^n - 1 )

Insgesamt folgt bis hierhin:

p(n+1) < 1 + exp(2^n - 1)

Nun zu dem Schritt, der mir selbst absolut nicht gefällt.

Ich zeige, dass das weglassen der +1 vorne und der -1 in der e-Funktion sich so wegheben, dass die ungleichheit erhalten bleibt, also explizit zeige ich dass gilt:

1 + exp(2^n - 1) < exp(2^n) (womit ich fertig wäre)

Ich zeige das so:

1 + exp(2^n - 1) = 1 + exp(2^n)/e = 1/e * (e + exp(2^n))

Es folgt also :

1/e * (e + exp(2^n)) < exp(2^n)

Mit Äquivalenzumformung erhalte ich:

e + exp(2^n) < e * exp(2^n)

Da diese Aussage für n=1 gilt und die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selbst ist, also insbesondere die Ableitung monoton steigt, vergrößert sich der Abstand sogar für alle n>1.

Wie gesagt, dieser letzte Teil gefällt mir gar nicht und ich wäre froh, wenn mir jemand eine alternative und schönere Argumentation bereitstellen könnte.

MfG

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