Hey ihr lieben, ich habe diese Matheaufgabe erhalten und wollte euch fragen, ob jemand schauen könnte, ob ich dies richtig gelöst habe :-).
Eine Abteilung produziert Fernseher. Die Kosten können durch die Funktion K(x) = 0,01 x3 - 1,8 x2 + 165 x beschrieben werden, wobei x die tägliche Stückzahl ist. Die Maximalkapazität beträgt 160 Geräte pro Tag. Verkauft wird das Produkt für 120 € pro Gerät.
a) Gesucht ist die Gleichung der Gewinnfunktion G.
G(x)=E(x)−K(x)
G(x)=120x-(0,01x³-1,8x²+165x)
G(x)=120x−0,01X^3+1,8x^2−165x
G(x)=−0,01x^3+1,8x^2−45x
b) Wie viele Geräte müssen produziert werden, um einen Gewinn zu erzielen?
E(x) = 120 x
G(X) = 120x - (0,01 x^3 - 1,8 x^2 + 165 x)
G(x)= 120x - 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 165 x
G(x) = - 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 45x
G(x) > 0 :
- 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 45x >0 |*(-1)
0,01 x^3 - 1,8 x^2 + 45x <0
Nullstellen ausrechnen:
x(0,01*x^2-1,8x+45)<0
0,01*x^2-1,8x+45=0 | :0,01
x^2-180x+4500
p/q Formel
x1/2=90 ± wurzel(90^2-4500)
x1 = 90 + 60 =150
x2 = 90 - 60 =30
Bei der Stückzahl 30 und 150 macht man weder Gewinn noch Verlust. Ab x=30 geht es in die Gewinnzone, ab 150 machen wir wieder Verlust.
c) Welches Produktionsniveau maximiert den Gewinn?
Also ein lokales Maximum von G(x) im Intervall 60,150 suchen:
G(x) = - 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 45x
G'(x)= -0,03 x^2 +3,6 x -45
G'(x) = 0 setzen. also Nullstellen suchen.
0= -0,03 x^2 +3,6 x -45 | :-(0,03)
0= x^2-120x+1500
x1/2=60 ± wurzel(60^2-1500)
x1= 60 + 45,8 = x1 = 106
d) Wie groß müsste der Verkaufspreis sein, damit bei Vollauslastung kein Verlust entsteht?
G(X) = 120x - (0,01 x^3 - 1,8 x^2 + 165 x)
die muss für x=160 größer Null sein und die 120 wird zur Variable:
0<160a - 40960 + 46080 - 26400
0<160a -21280 | +21280
21280<160a | :160
133 < a
Bei einem Verkaufspreis von mindestens 133 euro entsteht kein Verlust mehr.
Ich freue mich über jede Hilfe :-)
