Richtig gelöst😄? Funktionsuntersuchungen bei realen Prozessen?

Hey ihr lieben, ich habe diese Matheaufgabe erhalten und wollte euch fragen, ob jemand schauen könnte, ob ich dies richtig gelöst habe :-).

Eine Abteilung produziert Fernseher. Die Kosten können durch die Funktion K(x) = 0,01 x3 - 1,8 x2 + 165 x beschrieben werden, wobei x die tägliche Stückzahl ist. Die Maximalkapazität beträgt 160 Geräte pro Tag. Verkauft wird das Produkt für 120 € pro Gerät.

a) Gesucht ist die Gleichung der Gewinnfunktion G.

G(x)=E(x)−K(x)

G(x)=120x-(0,01x³-1,8x²+165x)

G(x)=120x−0,01X^3+1,8x^2−165x

G(x)=−0,01x^3+1,8x^2−45x

b) Wie viele Geräte müssen produziert werden, um einen Gewinn zu erzielen?

E(x) = 120 x

G(X) = 120x - (0,01 x^3 - 1,8 x^2 + 165 x)

G(x)= 120x - 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 165 x

G(x) = - 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 45x

G(x) > 0 :

- 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 45x >0 |*(-1)

0,01 x^3 - 1,8 x^2 + 45x <0

Nullstellen ausrechnen:

x(0,01*x^2-1,8x+45)<0

0,01*x^2-1,8x+45=0 | :0,01

x^2-180x+4500

p/q Formel

x1/2=90 ± wurzel(90^2-4500)

x1 = 90 + 60 =150

x2 = 90 - 60 =30

Bei der Stückzahl 30 und 150 macht man weder Gewinn noch Verlust. Ab x=30 geht es in die Gewinnzone, ab 150 machen wir wieder Verlust.

c) Welches Produktionsniveau maximiert den Gewinn?

Also ein lokales Maximum von G(x) im Intervall 60,150 suchen:

G(x) = - 0,01 x^3 + 1,8 x^2 - 45x

G'(x)= -0,03 x^2 +3,6 x -45

G'(x) = 0 setzen. also Nullstellen suchen.

0= -0,03 x^2 +3,6 x -45 | :-(0,03)

0= x^2-120x+1500

x1/2=60 ± wurzel(60^2-1500)

x1= 60 + 45,8 = x1 = 106

d) Wie groß müsste der Verkaufspreis sein, damit bei Vollauslastung kein Verlust entsteht?

G(X) = 120x - (0,01 x^3 - 1,8 x^2 + 165 x)

die muss für x=160 größer Null sein und die 120 wird zur Variable:

0<160a - 40960 + 46080 - 26400

0<160a -21280 | +21280

21280<160a | :160

133 < a

Bei einem Verkaufspreis von mindestens 133 euro entsteht kein Verlust mehr.

Ich freue mich über jede Hilfe :-)

Answer 1

[Halbrecht]

sauber aufgeschrieben

und es scheint mir alles richtig (wg Plausibilität der Lösungen ) 

(Nachfrage bei c) : Das 106 wirklich ein Max ist , müsst ihr nicht extra mit G''(x) nachweisen ? ) 

alles gut, auch d 

d kann man ja mal nachprüfen

statt 120 , 133 in G(x) einsetzen

G_133(x) = 133x-(0.01x³-1.8x²+165x)

sieht gut aus , denn erst NACH 160 geht G(x) ins Negative !

Comments

[ahsar2]

Vielen Dank! (Nachfrage bei c) : Das 106 wirklich ein Max ist , müsst ihr nicht extra mit G''(x) nachweisen ? ) 

d kann man ja mal nachprüfen

Eigentlich schon, hatte aber vergessen wie es geht😅. Kannst du mir es vielleicht zeigen wie es nochmal geht?