Wahrscheinlichkeit beim Ziehen mit Zurücklegen - zwei mögliche Ansätze (Urnenmodell)?

Die gegebene Aufgabe ist: Eine Urne ist mit q schwarzen und r roten Kugeln befüllt. Es wird mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von l+m Kugeln genau l schwarze und m rote Kugeln zu ziehen?

Mein 1. Ansatz:

Einführen einer Zufallsgröße X, die die schwarzen gezogenen Kugeln zählt und binomialverteilt ist mit n = q+r und p = l/(q+r). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun P(X=l). Ist dieser Ansatz so korrekt?

Mein 2. Ansatz:

Prinzipiell kann man ja auch damit arbeiten, dass bei Laplace Experimenten die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, indem man die Anzahl an günstigen Ergebnissen durch die Anzahl an insgesamt möglichen Ergebnissen teilt.

Es gibt insgesamt (q+r)^(l+m) / (l+m)! Möglichkeiten, aus q+r Kugeln genau l+m Kugeln auszuwählen (mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).

Es gibt (q)^(l) / l! Möglichkeiten, aus q Kugeln genau l Kugeln auszuwählen. Und es gibt (r)^(m) / m! Möglichkeiten, aus r Kugeln genau m Kugeln auszuwählen. Folglich gibt es ((q)^(l) / l!) * ((r)^(m) / m!) Möglichkeiten, aus q schwarzen Kugeln genau l schwarze Kugeln und gleichzeitig aus r roten Kugeln genau m rote Kugeln auszuwählen (mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Terme sind analog zum Fall ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aufgestellt).

D.h. die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich auch als

(Möglichkeiten, aus q+r Kugeln genau l+m Kugeln auszuwählen)/(Möglichkeiten, aus q schwarzen Kugeln genau l schwarze Kugeln und gleichzeitig aus r roten Kugeln genau m rote Kugeln auszuwählen)

= ( (q+r)^(l+m) / (l+m)!) /
((q)^(l) / l!) * ((r)^(m) / m!) ) ausdrücken, oder?

Ist das so korrekt, oder sind mir irgendwo Fehler unterlaufen? Sind beide Ansätze zulässig?

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Ist der Politbarometer auch nur halbwegs zuverlässig?

Der Politbarometer des ZDF beruht auf der Forschungsgruppe Wahlen und so werden im ZDF gerne Umfrageergebnisse zu politischen Themen verkündet, die dann etwa lauten "Die Mehrheit der Deutschen..."

Es werden also vorsätzlich suggestive Formulierungen wie auch z.B. "repräsentative Umfrage" gewählt und die Menschen damit eiskalt manipuliert.

Da wurden 1250 zufällige Personen befragt und das spiegelt am Ende angeblich unsere Gesellschaft. Wo der Fehler liegt muss ich hoffentlich nicht erklären.

Und ich habe die Methodik des Politbarometers gelesen. Ich wollte schon ganz genau wissen, wie so eine Umfrage zustande kommt und ob ich womöglich etwas nicht weiß, das all dem plötzlich einen Sinn gibt. Und ich muss schon sagen, das zu lesen wirkt wie eine fundierte Wissenschaft zu Statistiken. Viele Fachbegriffe und sogar wild aussehende Formeln sind dabei.

Aber wer und vor allem wie! jemand das Konfidenzniveau bei politischen Fragen bestimmen kann, ist mir immernoch ein riesen Rätsel. Auf welcher Grundlage geht man bitte davon aus, dass sich die Ergebnisse der 1250 Befragten bei nochmal 100 Umfragen mit jeweils nochmal 1250 ständig neuen Personen, in ganzen 95 Umfragen davon nur minimal (2-3%) unterscheiden würden??

Der Politbarometer wurde vermutlich bewusst kompliziert beschrieben, dabei ist die Methodik völliger Schwachsinn. Wieso ist das Konfidenzniveau so hoch (95%)?

Vielleicht irre ich mich ja aber auch und nehm meine Aussage am Ende zurück. Nur dann erklärt es mir bitte jemand, warum diese Umfrage durchaus repräsentativ ist. Danke.

Mathematik, Politik, ZDF

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