Ein Sportstadion mit einer 400-m-Lauf-bahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. Die beiden Kurven sollen Halbkreise sein.?
Kann einer bitte erklären ? Danke im Vorraus
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rammstein53/1615404814643_nmmslarge__0_0_346_346_2e08198db203389692d6d8287572496d.png?v=1615404815000)
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
Die Länge der Laufbahn beträgt 2*a + 2*r*π (Kreisumfang)
Diese Länge soll 400 betragen: 2*a + 2*r*π = 400
Gleichzeitig soll die Fläche des Feldes A = a*(2r) maximal werden.
Aus 2*a + 2*r*π = 400 folgt a = 200 - r*π
Das in A einsetzen:
A(r) = (200 - r*π)*(2r) = 400r - 2*π*r²
A'(r) = -4*π*r + 400
Extremstellen suchen:
A'(r) = 0 ?
-4*π*r + 400 = 0 für r = 100/π
Das ist ein Maximum, denn A''(100/π) < 0
Die Feldfläche wird also maximal für r = 100/π und a = 100
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/merkurus/1444747619_nmmslarge.jpg?v=1444747619000)
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Formel, Flächeninhalt
Ich finde eigentlich sehr gut erklärt im folgenden Video.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Du sollst das Rechteck maximieren unter der Nebenbedingung, dass die Bahn 400m lang ist. Also zwei Gleichungen aufstellen, eine Variable elimienieren und dann NS der Ableitung suchen
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Diverses