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Wie ist es möglich, Werte für Sinus und Kosinus von Hand zu berechnen?

Hallo zusammen,

mein Mathe-Nachhilfeschüler (10. Klasse Gymnasium) hatte in einer Klassenarbeit eine Aufgabe, bei der ich selbst nicht so genau weiß, was verlangt war.

Die Aufgabe lautete "Bestimme die folgenden Werte anhand des Einheitskreises exakt." (Evtl. war der Wortlaut etwas anders.)

Die zu berechnenden Werte waren dann sin(45°), cos(120°) und cos(3/2pi). (Evtl. war es auch sin(120°), da bin ich nicht mehr sicher.)

Ich verstehe nicht ganz, was hier verlangt war. Sollten die Winkel im Einheitskreis eingezeichnet und dann die Seiten ausgemessen werden? Aber warum dann "exakt"?

Oder sollte man erkennen, dass z.B. bei 45° beide Katheten des Dreiecks gleich lang sind und daraus mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden? Aber wie sollte das dann so einfach bei 120° gehen? Wird da so eine große Erfahrung der Schüler vorausgesetzt? Oder muss man in der Zeichnung auf der x-Achse den Wert 0,5 ablesen? Aber was ist daran dann wiederum "exakt"?

Oder denke ich zu kompliziert? Gibt es vielleicht noch eine weitere Möglichkeit, das exakt zu berechnen? Es ist ja vermutlich kein Zufall, dass so einfache Werte für die Winkel gewählt wurden...

Leider hat mein Nachhilfeschüler zur Zeit kein Mathebuch. Deshalb kann ich auch darin nicht nachschauen, wie das in der Schule gerechnet wurde...

Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe. Viele Grüße!

Mathematik, Trigonometrie

Wann hebt die Wurzel das Quadrat auf?

Ich muss da etwas in Abhängigkeit von a ausrechnen und da kommt bei mir das hier raus:

s = √{(1/2 * √{a² + a²})² + (2a)²}

Diese Klammer {...} soll die Wurzel darstellen, da ich nicht weiß, wie ich das auf dem Computer schreiben soll. Ihr seht hier also eine große Wurzel, in der sich eine weitere Wurzel befindet √{...√{...}...}

Im Ergebnis steht aber folgendes: s = 3/2*√{2a}

Es ist so, dass es schon länger her ist, dass wir das hatten und kommende Woche schreibe ich meine Abschlussprüfungen. Ich bin mir ziemlich, dass wir es nicht exakt genauso wie im Ergebnis darstellen müssen, aber ich bräuchte Hilfe dabei, wie man das etwas genauer zusammenfassen kann.

Wie ist das mit den Wurzeln und dem Quadrat? Wann heben die sich gegenseitig auf (schließlich habe ich ja mehrere Quadrate in der Wurzel)? Was würdet ihr als nächstes tun, um mein Ergebnis näher zusammenzufassen?

Hier ist die Aufgabenstellung:

31.0 Das Quadrat ABCD (Seitenlänge a) ist Grundfläche einer Pyramide mit der Höhe h = 2a, deren Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M des Quadrates ABCD liegt.

(31.1 Zeichen Sie ein Schrägbild der Pyramide für a = 6 cm; ω = 30°; q = 1/2; [AB] liegt auf der Schrägbildachse.)

31.2 Bestimmen Sie die Länge s(a) der Seitenkante sowie den Flächeninhalt S(a) einer Seitenfläche in Abhängigkeit von a.

[Ergebnis: s(a) = 3/2*√{2a}, S(a) = √{17}/4*a²]

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Worüber soll ich meine Facharbeit von Pi schreiben, wenn der Lehrer einen mathematischen Schwerpunkt fordert und nix von der Geschichte etc. wissen will?

Also zuerst wollte ich meine Facharbeit in Mathematik über Pi schreiben. Dazu dann auf die Geschichte von Pi eingehen, ein paar Berechnungsmethoden verschiedener Mathematiker vorstellen und dann noch auf die heutigen Anwendungen eingehen.

Mein Lehrer aber sagt, dass ich nichts über die Geschichte von Pi, Biographien wichtiger Mathematiker von Pi oder sonstiges in meiner Facharbeit haben möchte. Ich solle einen mathematischen Schwerpunkt wählen, der den größten Teil der Facharbeit ausmacht. Ich denke, er meint dass ich ein oder zwei Berechnungsmethoden von Pi herleite und meine ganze Facharbeit dann sozusagen "nur aus Zahlen und Formeln" besteht.

Aber wie soll ich damit ca. 12 Seiten füllen? Ich kenne bereits mehrere Mathematiker, die sich mit Pi beschäftigt haben, und auch was sie gemacht haben. Dazu auch noch Berechnungsmethoden oder Formeln zur Berechnung von Pi. Im Internet stehen dort zwar immer die Formeln zur Berechnung von Pi, die ein Mathematiker herausgefunden hat, aber ich finde nirgendwo, wie er darauf gekommen ist oder wie er das hergeleitet hat. Angenommen ich würde über die Leibniz-Reihe schreiben wollen: Im Internet steht: 1-1/3+1/5-1/7+1/9...=Pi/4. Aber woher soll ich nun wissen, wie Herr Leibniz darauf gekommen ist? Ich finde dazu nichts im Internet, war auch schon in einer sehr großen Bibliothek und habe auch nichts passendes gefunden. Dann gibt es noch andere Beispiele, wo ich im Internet dann Berechnungsmethoden von Pi gesehen habe, wo dann unendlich viele Zahlen, Brüche oder Zeichen, die ich noch nie zuvor gesehen habe, stehen. Damit kann ich dann auch nichts anfangen, egal wie sehr ich mich bemühe, dies zu verstehen.

Kann mir jemand weiterhelfen? Ich glaube, mein Lehrer stellt sich vor, dass ich 2 Berechnungsmethoden von Pi vorstelle und fast alle Seiten der Facharbeit mit der Herleitung der Formeln fülle, oder so etwas in der Art. Wie gesagt, er hat gesagt so etwas wie Einleitungssätze zu Pi, die Geschichte der Zahl Pi soll ich nicht in meine Facharbeit mit einbeziehen. Allerdings hat er gesagt, ich kann auch auf trigonometrische Funktionen eingehen. Selbst wenn ich das mache, habe ich trotzdem noch sehr viele leere Seiten, die ich füllen muss. Ich verstehe irgendwie selber nicht wirklich, was von mir verlangt wird.

Danke schon mal im Voraus,

MfG

Schule, Mathematik, Facharbeit, Gymnasium, Pi, Trigonometrie, Kreiszahl

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