Trigonometrische Funktionen, x bestimmen
Bestimmen Sie ohne Taschenrechner alle reellen Zahlen x, für die gilt:
a) sin(x) = 0,5
b) cos(x) = ½ * √2
c) cos(x) = - ½ * √3
d) sin(x) = - ½ * √3
kann mir jemand erklären was ich machen muss?
5 Antworten
Die wichtigen Funktionswerte hattet ihr schon, oder?
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Wichtige_Funktionswerte
Also z.B. dass der Sinus bei 30° (oder im Bogenmaß bei pi/6) den Wert 1/2 annimmt.
Jetzt sind Sinus und Cosinus ja periodische Funktionen. Und die Periode ist genau 2pi, d.h. nach 2pi wiederholen sich die Funktionswerte.
Es gilt beispielsweise sin (0) = sin (360° oder 2pi) = 0
Schaffst du es dann alleine? :)
Okay am ersten Beispiel:
1.) sin(x) = 0,5
Du weißt, dass der Sinus bei x=pi/6 den Wert 0,5 annimmt.
Also ist das eine Lösung. Der Sinus ist eine periodische Funktion, also nimmt er nach x+2pi wieder 0,5 an, da seine Periode gerade 2pi (360°) ist.
Das heißt bei pi/6 + 2pi erreicht der Sinus das nächste Mal den Wert 0,5
Erhöhst du das nochmal um 2pi, erreicht er wieder 0,5, das nächste mal also bei pi/6 + 2pi + 2pi
....
Wenn du das jetzt eine Weile weiter machst steht da irgendwann:
pi/6 + 2pi + 2pi + 2pi+2pi + 2pi + 2pi+ ....
Nach n Schritten wären das also: pi/6 + n * 2pi
Das heißt du erhältst alle reellen Zahlen, an denen der Sinus den Wert 0,5 annimt mit x = pi/6 + n* 2pi (n ist hierbei Element der natürlichen Zahlen mit 0)
Noch ein wichtiger Zusatz: Zeichne dir die Sinusfunktion am besten mal auf (wie hier zu sehen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinus%28x%29%3D0.5),
Dann siehst du nämlich, dass der Sinus noch an einer anderen Stelle den Wert 0,5 annimmt, und zwar bei 150° oder 5/6 pi, also hast du eine zweite Lösung bei
x = 5/6 pi + n* 2pi
(Der Sinus ist symmetrisch, und da er bei 90° durch 1 geht (also den höchsten Wert erreicht), brauchst du nur +60° = 150° zu rechnen, da zwischen 30° und 90° auch 60° Abstand liegen).
aber woher weiß man denn das der sinus bei x=pi/6 den wert 0,5 annimmt? also kann man das auch irgendwie ausrechnen?
Wahrscheinlich nicht mit deinen Mitteln, du kannst natürlich über die Reihenentwicklung vom Sinus gehen. Das würde ich aber nicht machen.
Ich denke es geht eher darum, dass du solche Sachen wie, dass der Sinus nochmal bei 150° den Wert 0,5 annimmt bestimmen sollst, ebenso bei Cosinus)
Das sind Werte, die man kennen muss (oder in der Formelsammlung nachschlagen).
Du könntest höchstens über den Einheitskreis gehen, da kannst du aber nur näherungsweise ablesen, also ungeeignet.
da guckst du halt zb bei der a für welche x sinus x = 0,5 gilt: in dem fall : für alle n30° oder im bogenmaß: alpha/360° * 2pi, in dem Fall also : npi/6. bei der b sind das alle n45° oder npi/2. Das sind halt so fixwerte, die man sich im vorfeld im unterricht eig angeguckt hat...
stopp, anders n360°+30° bzw n2pi+pi/6; bei der b n*2pi+pi/2. Hatte zu spät geändert :) das n bedeutet jede ganzzahlige zahl, also 0,1,2,3,4,5,6, usw. eigentlich auch -1,-2,-3, usw.
Es gibt bei Trigonometrischen Funktionen Spezialfälle, die man nicht mit unendlichen Summen (z.B. mit einem Rechner) berechnen muss, sondern die sich aus Gesetzen herleiten lassen und in Wurzelschreibweise angeben kann.
Viele Spezialfälle und Gesetze hier:
http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm
(der LINK wird hier manchmal vor dem htm abgeschnitten!)
Beispiel 1: wenn sin(x)=1/2 (also rechte Spalte 1/2), dann beträgt der Winkel Pi/6 rad = 30°.
Die cos-Funktion ist nur eine um pi/2 verschobene sin-Funktion:
cos(x)=sqrt(1-sin(x)²) = sin(x+pi/2)=sin(pi/2-x)
Hinweis1: Winkel gibt man in [rad] oder veraltet in [°] an
Hinweis2: sin und cos sind periodische Funktionen, was man mit Vielfachfaktor n angibt
Zu: "woher weiss man dass..." aus den Gesetzen:
man weiss, dass sin(Pi/2)=1
mit sin(3 * x)=3 * sin(x)-4 * sin(x)³
kommt man auf den 3. Teil des Winkels, also Pi/6 usw.
Da du cos(x) geschrieben hast, werden dich wohl auch Perioden etc. interessieren, falls nicht, da gibt es einfache Skizzen, um sich so simple Winkelfunktionen schnell plausibel machen zu können. Allerdings gilt das dann immer nur für einen Winkel zwischen 0° und 90°.
Mal hören, was du antwortest. Ich merke mir mal die Frage.
alle reellen Zahlen x
Das alle hatte ich glatt übersehen, und die anderen Erklärungen hast du ja bekommen.
Viel Glück mit den Perioden.
Winkelfunktionen anschauen hilft: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/600px-Sine_cosine_one_period.svg.png
nein bis jetzt hilft mir das leider noch nicht weiter :o kannst du es vielleicht noch anders oder noch genauer erklären? :)