Tangensfunktion Polstellen
Kann mir vielleicht Jemand erklären warum die Tangensfunktion Polstellen hat? ich schreibe bald eine Mathearbeit und bräuchte diese Hilfe dringed.
Vielen Lieben Dank <3 :)
2 Antworten
Tangens ist Kathete / Kathete. Bei tan 45° hast du 1, bei tan 90° dann unendlich
Graphisch bedeutet es, dass die Tangenskurve x = 1 als Asymptote hat; der Wert kann nicht überwunden werden. Bei Winkeln größer 90° kommt die Kurve gewissermaßen von -unendlich wieder hoch, um dann vor 270" wieder gegen +unendlich zu verschwinden, also alle 180°.
Das sind die Polstellen. Eventuell müsst ihr sie in pi angeben, nämlich wenn ihr auf der x-Achse pi stehen habt. Aber dann weißt du wohl auch, wieviel ° dem pi entsprechen.
Die Abbildung lässt sich definieren durch:
- Tan(θ) = Sin(θ) / Cos(θ).
Nun θ —> ±π/2 ==> Sin(θ) —> ±1 und Cos(θ) —> 0 also hat die Abbildung θ |—> Tan(θ) eine Singularität bei θ=±π/2. Das sie tatsächlich eine Polstelle ist zeigt man wie folgt:
Behauptung. Tan(θ) · [θ – π/2] —> -1, sodass in der Nähe von π/2 ist Tan(θ) ~ -1/[θ – π/2] eine Polstelle.
Beweis.
- Tan(θ) · [θ – π/2] = Sin(θ) / [Cos(θ) / [θ–π/2]]
- Sin(θ) —> 1, wenn θ —> π/2
- Cos(θ) / [θ–π/2] = [Cos(θ)–Cos(π/2)] / [θ–π/2]
- —> Cos´(π/2) = -Sin(π/2) = -1, wenn θ —> π/2
- Also Sin(θ) / [Cos(θ) / [θ–π/2]] —> 1 / -1 = -1
W.z.z.w.
Ähnlich bei der Stell θ=-π/2.
kann ich dann noch dazu sagen, dass in einem Dreieck ja keine zwei Winkel geben kann die 90° sind ? Vielen Dank für diese Antwort :)