Ich habe für meine Übungsaufgaben diesmal folgende Aufgabe zu lösen:
Ich hätte dies mit dem Folgenkriterium gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob das so geht.
Wir nehmen das Gegenteil an, und führen einen Widerspruchsbeweis.
für irgendein Epsilon > 0.
Wir bezeichnen die Menge dieser "Verräter" als M. Nun bilden wir eine Menge in X:
Mir fällt auf: Das ist ein bisschen falsch geschrieben. Ich meine konkret: Wir wählen eine Folge aus jenen f^-1(yn), die in M sind. Insbesondere ist x_n immernoch Teilfolge von f^-1(yn).
Aber es gilt:
Nun betrachten wir aber mal f(x_(n_k)). Gleichzeitig gilt aber auch:
Und das ist der Widerspruch, da (x_n) ja gerade so gewählt wurde, dass alle x_n mindestens Epsilon-weit davon entfernt sind.