Ableitung von sin^2(x)?

Zuerstmal: Ist sin^2(x), sin (x)^2, (sin(x))^2 das gleiche?

Ich hab mir gedacht, vielleicht ist es

Produktregel sin(x)*sin(x) => f'(x)= sin(x)*cos(x)+cos(x)*sin(x)= 2*sin(x)*cos(x)

Oder die Kettenregel, dass x^2 die äußere ist und sin(x) die innere. Geht das überhaupt? Also f'(x)= 2*cos(x). Ist das überhaupt eine verschachtelte Funktion? Wir haben irgendwie gelernt, dass es verschachtelt ist, wenn x mit einer anderen Funktion ersetzt wurde und theoretisch wurde es mit sin(x) ersetzt... Oder? Was ist richtig?

Answer 1

[evtldocha]

Zuerstmal: Ist sin^2(x), sin (x)^2, (sin(x))^2 das gleiche?

Bei der mittleren Schreibweise ist nicht ganz klar, was gemeint ist und die würde ich auch so niemals verwenden (lange diskutieren will ich darüber eigentlich auch nicht). Ansonsten ist

$\sin^2\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2\ =\ \sin\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)$

Nun zur Ableitung.

Dass man das mit der Produktregel ableiten kann, hast Du ja schon richtig erkannt: Man kann es aber auch mit der Kettenregel ableiten, was man am einfachsten natürlich mit der Schreibweise $f\left(x\right)=\left(\sin\left(x\right)\right)^2$

sieht. Die innnere Funktion ist dann $i\left(x\right)=\sin\left(x\right)\$

und damit: $f\left(i\left(x\right)\right)=\left(i\left(x\right)\right)^2\ \rightarrow\ \frac{d}{dx}f\left(i\left(x\right)\right)=\frac{d}{di}\left(i\left(x\right)\right)^2\cdot\frac{d}{dx}i\left(x\right)=2\cdot i\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$

Jetzt "i(x)" wieder durch sin(x) ersetzt und Du hast dasselbe Ergebnis wie mit der Produktregel.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

nimm einfach die Kettenregel, also äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Äußere wäre 2*sin(x) entsprechend der Ableitung 2x von x².

Innere ist cos (x).

Daher 2*sin(x)*cos(x) bzw. nach dem Additionstheorem sin (2x).

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[DerRoll]

Ist sin^2(x), sin (x)^2, (sin(x))^2 das gleiche?

ja (vorausgesetzt beim mittleren ist auch gemeint das der gesamte Sinus quadriert wird. Wird nur innen quadriert schreibt man sin x^2)

Produktregel sin(x)*sin(x) => f'(x)= sin(x)*cos(x)+cos(x)*sin(x)= 2*sin(x)*cos(x)

Korrekt.

f'(x)= 2*cos(x)

Nein, da hast du die äußere Ableitung nicht korrekt angewendet. Die wirkt nämlich auf die GANZE innere Funktion. Denk noch mal nach.

Wenn du die Kettenregel richtig anwendest kommt das gleiche Ergebnis wie bei der Produktregel heraus.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 4

[gauss58]

Produktregel oder Kettenregel anwenden, funktioniert beides.

Answer 5

[ChrisGE1267]

Wenn Du die Kettenregel anwendest, musst Du erst aussen (sin(x))^2 zu 2*sin(x) ableiten, danach innen sin(x) zu cos(x). Als Ergebnis erhältst Du 2*sin(x)*cos(x), also dasselbe wie bei der Anwendung der Produktregel…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie