Vertrags-Händler weigert sich eine Gewährleistung für Reparatur zu übernehmen- was tun?

Folgendes:

Ich habe bei einem Vertragshändler einen Gebrauchtwagen gekauft, bin ihn bisher nicht mal 2 Monate gefahren und in dieser Zeit 3.000 km gefahren

Es haben sich unter bestimmten Umständen beim Warmlaufen schon nach dem Kauf ein paar Vibrationen bemerkbar gemacht, die aber letztendlich stärker geworden sind und nun kam in der Werkstatt (nicht beim Käufer, der ist recht weit weg) raus:

Nockenwellenversteller funktioniert manchmal micht richtig. Konnte aber auch im Fehlerspeicher nicht gefunden werden und wurde durch meine genaue Beschreibung furch ein mitlaufendes Diagnosegrät festgestellt. Da es diesen Versteller nicht einzeln gibt, muss die komplette Nockenwelle erneuert werden (2 -Tage-Reparatur)

Ich habe eine zusätzliche 12-Monats-Gebrauchtwagengarantie abgeschlossen, nach der ich aber 60 % der Materialkosten selbst übernehmen soll, wären also Brutto mehr als 700 Euro eigene Kosten.

Ich habe recherchiert und gelesen, dass der Händler unabhängig von der Garantie eine Gewährleistungspflicht hat und mir in 6 Monaten nachweisen muss, dass der Schaden vorher noch nicht war.

Aber er weigert sich zu zahlen! Er argumentiert damit, dass das Auto ja schon 3.000 km scheinbar schadenlos überstanden habe. Kommt er damit durch, oder lohnt sich da ein Rechtsstreit? Habe leider aber keine Rechtsschutz -.-

Was soll ich machen?

Recht, Kaufrecht, Gebrauchtwagenkauf, Gewährleistung, Jura, Auto und Motorrad
Haltbarkeit und Gewährleistung bei Autobatterien für Start-Stop?

Ich habe im Januar 2021eine Exide Autobatterie EK700 70Ah 760 A Start-Stop AGM gekauft. Diese lässt sich seit einiger Zeit nicht mehr laden. Der Händler sagt, dass die Gewährleistung nicht greift, weil mein Fahrzeug keine Start-Stop-Funktion hat.

Meiner Meinung nach ist die Belastung für die Batterie bei Start-Stop erheblich größer und so hat eine solche Batterie meiner Einschätzung nach eine deutlich größere Reserve. Die Batterie wurde in meinem Fahrzeug also eher weniger belastet.

Für mich klingt die Aussage des Händlers wie eine Schutzbehauptung, um nicht leisten zu müssen. Er schreibt: >>>Da die bestellte Batterie zu Ihrem Fahrzeug nicht passend war (NUR für Fahrzeuge mit mit Start-Stopp-Funktion),  aber trotzdem eingebaut und benutzt wurde, handelt sich um keinen Mangel im Sinne der Gewährleistung. Den Hinweis darauf finden Sie ebenfalls in unserem Onlineshop im Bereich „AGB“ – Garantiebedingungen .<<<

Diese Batterie war vorher schon im Fahrzeug verbaut. Das Auto war 2018 beim Kauf 8 Jahre als, es könnte also schon die 2. Batt. drin gewesen sein. Evtl. damals schon die falsche eingebaut worden, und ich habe den Fehler kopiert?

Können die Händler sich mit Ihren Garantiebedingungen immer rausreden, oder greift hier vielleicht doch das BGB?

Mich würden hier Eure Einschätzungen interessieren.

Vielen Dank!

Auto, Batterie, Recht, Allgemeine Geschäftsbedingungen, Gewährleistung, Auto und Motorrad

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