Hallo liebe Community,
bin gerade ein wenig verwirrt beim Durchgehen der Altklausurbeispiele, da bei manchen Aufgaben bei der Abschätzung mit Hilfe des Satzes von Taylor folgendes steht:
z. B. In der N¨ahe von x = 0 ist die Funktion r(x) = 2x/(2 + x)
eine rationale Approximation fur ln(1 + x).
Zeigen Sie mittels Entwicklung nach Potenzen von x:r(x) − ln(1 + x) = C x3 + O(|x|^4)
(also groß O_Notation (wobei in der Klammer die nächsthöhere Potenz steht)
Bei anderen Aufgaben jedoch:
Für welche Werte des Parameters ¨ c ∈ R ist die Funktion f(x) =
1 + x c differenzierbar an der Stelle x = 0? Geben Sie für die betreffenden Werte von c auch a, b ∈ R (abhängig von c) an, so dass gilt
f(x) = a + b x + o(|x|) für x → 0.
Lösung: f ist für alle ¨ c ∈ R differenzierbar an der Stelle x = 0
x=0 = c ⇒ f(x) = f(0) + f0(0) · x + o(|x|) = 1 + c x + o(|x|) fur x
(Hier steht die klein o-Notation verbunden mit der gleichen Potenz wie das vorherige Glied)
Auf Wiki hab ich gefunden, dass Groß O äquivalent dazu ist, dass f nicht wesentlich schneller wächst, und klein o bedeutet, dass g(x) schneller wächst, aber mir ist dennoch nicht klar, wie ich das auf den Taylor übertragen kann/sollte?
Wäre über jeden Vorschlag sehr dankbar!