Wieso darf man in einem Term oder z.B. einer Funktion Variablen kürzen?
Hallo,
ja, wenn man für das x eine Zahl einsetzt steht sie im Nenner und im Zähler, aber man kann ja nicht davon ausgehen, dass man immer eine Zahl einsetzt.
Danke
6 Antworten
Um diese Frage zu beantworten, musst du dir klarwerden, was wir überhaupt damit meinen, wenn wir sagen, dass 2 Terme gleich sind.
Zum Beispiel könntest du genauso gut fragen, warum
x + y = y + x
für Terme gilt. Normalerweise legen wir bei der Termumformung ein paar Grundrechenregeln fest, und wenn sie durch diese Grundrechenregeln ineinander umgeformt werden können, dann betrachten wir die Terme als gleich. Diese Grundrechenregeln sind:
Null: a + 0 = a
Eins: 1 × a = a
Additives Inverses: a - a = 0
Multiplikatives Inverses: a × 1/a = 1
Kommutativgesetze: a + b = b + a und a × b = b × a
Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a × (b × c) = (a × b) × c.
Distributivgesetz: a × (b + c) = ab + ac
Wenn ich zwei Terme mit Hilfe dieser Grundregenregeln ineinander umformen kann, dann bezeichnen wir sie als gleich bezüglich dieser Rechenregeln. Das bedeutet, dass wenn ich ein System habe, dass diese Grundrechenregeln erfüllt (zum Beispiel reelle Zahlen), dann geben die Terme mit eingesetzen Elementen des Systems die gleichen Werte.
Es gibt aber auch Systeme, die obige Rechenregeln nicht alle erfüllen, zum Beispiel stimmt für Matrizen A und B nicht, dass A × B = B × A. Für Matrizen stimmt die Aussage
AB/A = B auch nicht!
Entsprechend sind die Terme xa/xb und a/b wirklich nur gleich, wenn wir uns vorher auf obige Rechenregeln geeinigt haben.
Aus den Rechenregeln folgt (das Assoziativgesetz lasse ich mal weg und schreibe einfach keine Klammern):
xa/xb = xa × 1/xb nach Definition von "/"
= xa × 1/xb × 1 × 1 wegen Eins
= xa × 1/xb × (x × 1/x) × (b × 1/b) wegen Multiplikativen Inversen
= xa × 1/xb × xb × 1/x × 1/b wegen Kommutativgesetz
= xa × (xb × 1/xb) × 1/x × 1/b wegen Kommutativgesetz
= xa × 1 × 1/x × 1/b wegen Multiplikativen Inversen
= xa × 1/x × 1/b wegen Eins
= x × 1/x × a × 1/b wegen Multiplikativen Inversen
= 1 × a × 1/b wegen Multiplikativen Inversen
= a × 1/b wegen Eins
= a/b nach Definition von "/"
Es ist normalerweise definiert für was für ein Element einer Menge eine variable steht. In der Schule macht man das eher nicht, weil dort quasi die Konvention ist, dass x für eine reelle Zahl steht. Daher kannst du ein x im Zähler auch gegen ein x im Nenner kürzen.
Ja klar kann man das. Aber die variable ist ja nichts als ein Platzhalter für eine Zahl. Daher geht das.
Dass man x ∈ ℝ schreibt, ist in der Schule zumindest an der Tafel eigentlich schon normal. Und sagen wir, x ∈ ℂ, gilt es dann nicht? Ich hab ein wenig herumprobiert und konnte noch keinen Wert für x finden, bei dem es nicht gestimmt hat.
Ich sagte doch gerade, x ist ein Element einer Menge. Diese Menge kann beliebig sein. Es könnte eine Potenzmenge sein, oder z.B. der R3.
Du hast zunächst zwar scheinbar recht mit deiner Überlegung, aber ich halte dagegen: egal für welche Zahl du dich für x entscheidest, kann x nur diesen einen Wert annehmen. Also steht oben und unten immer die glleiche Zahl und die kann man dann halt wegkürzen. Mit Buchtsaben darf man im Prinzip genauso rechnen wie mit Zahlen.
Wenn du in einer Aufgabe eine Variable setzt, ist sie so lange dieselbe Zahl, bis die Aufgabe zu Ende ist.
Erst in der nächsten Aufgabe darfst zu derselben Variablen wieder eine andere Zahl zuweisen.
Folglich darfst du auch a gegen a und x gegen x kürzen,
es sei denn, die Variable (im Nenner) könnte irgendwann einmal 0 sein.
Um das ausszuschließen, schreibst du vorher
a ≠ 0 oder
x ≠ 0.
Das war jetzt kein Beweis.
Aber: Wie oft passt x in x? Immer einmal. Also: Für alle x gilt (sofern x ungleich 0), dass x/x = 1.
Danke, aber bei dir steckt ja gleich der Gedanke im Vordergrund, dass die Variable für eine Zahl steht. Das tut sie ja auch, aber man kann mit Variablen auch einfach nur weiterrechnen, ohne Werte einzusetzen. Ich hoffe du verstehst meinen Punkt.