Satz über implizite Funktionen?
Der Gradient von G ist bei (x0, y0) = 0. Soweit so gut. Der triviale Fall für Lambda = 0 ist auch in Ordnung. Aber ansonsten komm ich nicht weiter. Ich weiß, dass ich F(x0, y0) auch mit F(x, f(x)) darstellen kann, aber was bringt mir das?
1 Antwort
Nur so nebenbei: Diese Aussage ist ja die Idee beim Verfahren von Lagrange für Maxima unter Nebenbedingungen. Wenn man das mit dem "Implifu" zeigen soll, würde ich so ansetzen:
Aus der Gleichung F(x,y) = 0 auf M kann man y implizit bestimmen, also y=f(x) und F(x,f(x))=0.
Berechnet man nun die Ableitung von F(x,f(x)), dann kann man nach df/dx(x) auflösen (die Formel ist hier nachzusehen, es ist mühevoll zum Aufschreiben: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Zusammenfassung)
Man kann aber auch die Ableitung von G(x,f(x)) ausrechnen, das sieht sehr ähnlich aus. Das df/dx(x) - das hier auch wieder vorkommt - kann man dann bei Verwendung beider Gleichungen eliminieren, es bleibt (partiell gemeint)
dG/dx (x,f(x)) / dF/dx (x,f(x)) = dG/dy (x,f(x)) / dF/dy (x,f(x)) (an der Stelle x0, y0=f(x0))
Das heisst, die partiellen Ableitungen nach x und nach y von F und G stehen im gleichen Verhältnis, woraus die Aussage folgt.