Jetzt kannst Du noch a^(4/3) * a^(-1) zusammenfassen, ergibt a^(4/3-1)=a^(1/3), und das ist wieder als Wurzel geschrieben 3.Wurzel(a), wie in der Musterlösung.

Bei der Wahl der Variablen solltest Du dich an die der Aufgabenstellung halten! Und eine Skizze hilft im Allgemeinen.

In dieser Skizze erkennst Du, dass das beschriebene Rechteck die Größe A(u)=2u * f(u) hat, also A(u)=2u(-u²+9)=-2u³+18u.

Mit "deinem" A berechnest Du nur eine Hälfte des Rechtecks, und beim Ausmultiplizieren muss es dabei dann vorne x*(-x²)=-x³ heißen, nicht 2x²!! Und auch wenn Du von deinem falschen A die Extremstelle berechnest, wäre x nicht 1,73, sondern [A'(x)=4x+9] x=-9/4=-2,25. Und da "deine" 2. Ableitung A''(x)=4, also größer 0 ist, wäre dort ein Tiefpunkt. Und selbst mit x=1,73 weiter gerechnet kommt nicht y=12,58 raus: A=2*1,73²+9*1,73=21,56 ! Irgendwie ist da bei deiner Berechnung alles schief gelaufen...

"Gewünscht" ist hier wahrscheinlich, dass man mit B-A zuerst einmal den Richtungsvektor der Strecke AB bestimmt. Dann wird ein beliebiger neuer Startpunkt C gewählt. Addierst Du dann den Richtungsvektor der Strecke AB (oder ein Vielfaches davon) hinzu erhältst Du den Zielpunkt D der Strecke CD, die parallel zur Strecke AB liegt.

Einfacher kannst Du es dir machen, indem Du A und B jeweils um dieselben Koordinaten veränderst - damit wird die Strecke AB um eben diese Änderung in die entsprechende Richtung verschoben.

Beispiel: ändere bei A die x-Koordinate um +1 und y um -1 (Du brauchst natürlich auch nur eine Koordinate zu ändern), erhältst Du den Punkt C(-1|-2). Jetzt musst Du B noch genauso ändern, also D(5|0). In beiden Fällen lautet der Richtungsvektor (6 2).

a) zu beachten ist zuerst, dass hier als Zeiteinheit 10s vorgegeben sind, d. h. t=1 bedeutet 10 s! Somit musst Du hier die gefragten Zeiten erst durch 10 teilen und das dann für t einsetzen (also t=1, 5 und 14). Anschließend subtrahierst Du jeweils die Punkte der beiden Flugzeuge und berechnest dann von dem so entstandenen Vektor die Länge (l=√(x²+y²+z²)).

b) bei der Bestimmung der Lage zweier Geraden zueinander prüft man zuerst, ob die Geraden parallel oder identisch sind, indem man schaut, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Ist das, wie hier, nicht der Fall, setzt man beide Geraden gleich (einen der beiden Parameter umbenennen, z. B. s statt t) und bildet für jede Koordinate eine eigene Gleichung. Mit zwei von den drei Gleichungen rechnest Du s und t aus und setzt deine Lösungen in die übrige Gleichung ein. Kommt dabei eine wahre Aussage raus, dann gibt es einen Schnittpunkt, ist die Aussage falsch, dann gibt es keinen und die Geraden sind windschief. In diesem Fall gibt es einen Schnittpunkt (sonst würde Teil c auch wenig Sinn machen...).

c) zu einer Kollision kommt es nur, wenn beide Flugzeuge zum selben Zeitpunkt den Schnittpunkt erreichen, d. h. bei Teil b) müssten die beiden errechneten Parameter s und t (die ja für die Zeit stehen) gleich sein.

Rechne I+2*II und III-IV und Du erhältst 2 Gleichungen, in denen nur noch die beiden Unbekannten a1 und a3 vorkommen...

Korrekt: p1=1/15 * 1/14 * 1/13

und p2=6 * p1, weil es 3!=6 Möglichkeiten gibt die drei Erstplatzierten untereinander zu verteilen.

Bei a) wirst Du (hoffentlich) den Richtungsvektor so berechnet haben (B-A)/2. So hast Du einen Richtungsvektor, der die Flugzeugänderung pro Minute beschreibt.

b) Berechnest Du die Länge des Richtungsvektors, erhältst Du die Strecke in km, die das Flugzeug pro Minute zurücklegt. D. h. diese Länge jetzt mal 60 und Du hast die gesuchten km/h.

c) 10 % schneller bedeutet, der Flieger fliegt in jede Richtung (x1,x2,x3) um 10 % weiter, und "plus 10 %" bedeutet "mal 1,1", d. h. Du setzt den "Änderungs-Parameter" in die Klammer des Richtungsvektors, d. h. hier t*(1,1* (x1 x2 x3)). Reduziert jetzt der Flieger seine Geschwindigkeit auf z . B. 85 % der Ursprungsgeschwindigkeit, ersetzt Du die 1,1 durch 0,85.

d) Du bestimmst den Punkt des Flugzeugs zum Zeitpunkt t=1, berechnest den Richtungsvektor zum Beobachter und ermittelst anschließend dessen Länge.

Im Anschluss machst Du das nicht mit t=1 sondern mit allgemeinem t...

Bei g1/g2 hast Du das Ergebnis des LGS falsch interpretiert. Aus Zeile 1 und 2 ergibt sich zwar r=0 und s=0, aber in Zeile 3 steht 0=1, also eine falsche Aussage => g1 und g2 sind windschief.

Die nächte stimmt.

Die Richtungsvektoren von g5 und g6 sind Vielfache voneinander, d. h. diese Geraden sind entweder parallel oder identisch! Jetzt prüfst Du ob der Ortsvektor von g5 ein Punkt von g6 ist (das kannst Du als Matrix in diesem "Formular" eintragen). Das ist der Fall, d. h. g5 und g6 sind identisch.

Bei g7/g8 gilt das gleiche wie bei g1/g2. Die letzte Zeile ergibt eine falsche Aussage => g7 und g8 sind windschief.

Bei linearen Gleichungssystemen kommen die Unbekannten mit "einfachem" Exponenten vor (also immer "Hoch 1"), z. B. (I) 3x-2y=6 ; (II) -2x+7y=-4. Formt man diese beiden Gleichungen nun z. B. beide nach y um, so erhält man die allgemeine Form von linearen Funktionsgleichungen (y=mx+b), deren graphische Darstellung jeweils eine Gerade zeigt. Das Ergebnis so eines linearen Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden; P(x|y).

Quadratische Gleichungen beinhalten Unbekannte als Quadrat. So kann z. B. nach dem(n) Schnittpunkt(en) einer Parabel und einer Geraden gefragt sein. Dazu stellt man wieder die entsprechenden Gleichungen nach y um (in der Regel liegen die Funktionsgleichungen schon in der Form y=... vor), setzt die Gleichungen gleich und löst mit geeigneten Mitteln nach x auf (alles auf eine Seite - ausklammern, PQ-/ABC-Formel, ...). Bei kubischen Gleichungen hat man es dann mit Unbekannten "hoch 3" zu tun, die es zu lösen gilt, angewendet auf Funktionsgleichungen erhält man bei Auflösung solcher Gleichungssysteme wieder die entsprechenden Schnittpunkte.

Theoretisch wendet man bei Berechnung der Nullstellen auch ein Gleichungssystem an: die eine Gleichung ist die Funktion selbst; die andere Gleichung ist die Geradengleichung der x-Achse (also y=0), die man beide im Anschluss gleichsetzt...

Bei Temperaturen um 10° C fange ich schon an lange Hosen zu tragen - die dünnen enganliegenden. Richtung 0° wechsel ich dann meist in etwas dickere Laufhosen, die auch etwas weiter sind; habe auch noch eine dickere enge, aber die ist eher was für arktische Temperaturen.

Als ich noch regelmäßig laufen war, und das aufgrund meiner Fitness auch um einiges schneller als jetzt, war ich nur in den engen Hosen unterwegs; aber bei meiner jetzigen langsamen Joggerei kühlt die Außentemperatur meine Beine schneller ab als meine Muskeln Wärme aufbauen! :)

Die Frage bzgl. sprung-, knick- und krümmungsruckfreien Graphen stellt sich immer nur bei zusammengesetzten Funktionen, und zwar an den Übergängen von einer Teilfunktion zur nächsten. D. h. bei deinen Beispielen bei a) an den Stellen x=-1 und x=+1, bei c) bei x=2,5 und bei d) bei x=1.

Ein Graph ist sprungfrei, wenn an der Übergangsstelle die Funktionswerte der von links kommenden Teilfunktion gleich der von rechts kommenden sind. D. h. z. B. bei Funktion a) musst Du bzgl. der Stelle x=-1 prüfen, ob dort die Teilfunktion f1(x)=x² denselben Funktionswert hat wie f2(x)=1. In diesem Fall passt das (f1(-1)=(-1)²=1=f2(-1)), wie man an dem Bild auch sieht.

Knickfrei bedeutet, wie der Name schon vermuten lässt, dass der Graph am Übergang keinen Knick hat. Damit kein Knick entsteht, müssen die Steigungen der betroffenen Teilfunktionen am Übergang gleich sein. D. h. Du musst bzgl. der Stelle x=-1 bei Graph a) f1'(-1) und f2'(-1) ermitteln und auf Gleichheit prüfen. Die Steigungen sind, wie man am Graphen schon sehen kann, nicht gleich, daher auch der sichtbare Knick: f1'(-1)=2*(-1)=-2 und f2'(-1)=0. Dann erübrigt sich auch die Frage, ob der Graph an dieser Stelle krümmungsruckfrei ist, denn dafür sind sprungfrei und knickfrei Voraussetzung.

Damit ein Graph krümmungsruckfrei ist, müssen die 2. Ableitungen am Übergang gleich sein, denn die 2. Ableitung gibt die "Stärke" der Krümmung an. Bei den Graphen c) und d) ist erkennbar, dass diese zumindest sprung- und knickfrei sind. Graph d) sieht am Übergang recht "flüssig" aus, hingegen es bei Graph c) am Übergang aus einer (Links-)Kurve in eine Gerade übergeht, d. h. wäre dieser Graph eine Straße, müsstest Du am Ausgang der Kurve recht ruppig entgegen der Linkskurve lenken um auf der Geraden sauber weiterfahren zu können. D. h., prüfst Du nun die 2. Ableitungen bei Graph d) dann wirst Du auf f1''(1)=f2''(1) kommen, und bei Graph c) wird f1''(2,5) ungleich f2''(2,5) sein.

u(x)=x : 1 Nullstelle
v(x)=x²-1 : 2 Nullstellen
f(x)=u(v(x))=x²-1 : 2 Nullstellen - also mehr als u(x).

Und dass f auch mehr Nullstellen haben kann als v hat evtldocha schon gezeigt.

Bei Baumdiagrammen sind folgende Äste immer bedingte Wahrscheinlichkeiten, eben unter der Bedingung, dass vorher das(die) vorherige(n) Ereignis(se) eingetreten ist(sind).

D. h., die Wahrscheinlichkeiten, die auf den zweiten Ästen stehen, sind bereits die gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeiten, also P_X(Y)=40 %; P_X(Y-Strich)=60 %, usw.

Um an P(Y) zu kommen, musst Du beide Pfade, in denen das Y vorkommt addieren, also den 1. und 3. Pfad, d. h. P(Y)=24 % + 26 % = 50 %. P(Y-Strich) ist dann ebenfalls die Summe der Pfade mit Y-Strich, bzw. wenn Du P(Y) kennst, ist Y-Strich der "Rest" bis 100 %, also hier ebenfalls P(Y-Strich)=50 %.

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit Y bzw. Y-Strich als Vorbedinung kannst Du nicht mehr ablesen, die musst Du berechnen. Die "Formel" lautet:
P_A(B)=P(A und B)/P(A).

D. h. die Wahrscheinlichkeit des Pfades beider Bedingungen (die kannst Du ablesen) geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Vorbedingung.

Beispiel:

P_Y(X)=P(X und Y)/P(Y) = 24 % / 50 % = 0,48 = 48 %.

Unten drunter steht die "vorgeschlagene" Lösung (1|0), also x=1 und y=0. Jetzt setzt Du einfach x=1 in die Gleichungen ein und schaust jeweils was rauskommt.

Gleichung 1: y=2*1-1=1
Gleichung 2: y=-3*1+4=1

D. h. x=1 und y=1 (nicht y=0) ist das richtige Lösungspaar, also L={(1|1)}.

Bei a) musst Du nach y=1x+b nur noch den Punkt von f bei x=0 einsetzen, also P(0|1).

Bei b) brauchst Du nur noch die ermittelten m und b in die Gleichung y=mx+b übernehmen.

Generell: Um die Fläche zu bestimmen, die von zwei Graphen eingeschlossen wird, integriert man von Schnittstelle zu Schnittstelle die "Differenzfunktion" der beiden Funktionen. Sieht (oder kennt) man den Verlauf, rechnest Du obere Funktion minus untere, also hier g-f, und erhältst so direkt ein positives Ergebnis.

Sind die Graphen nicht sichtbar/bekannt, musst Du erst einmal die Schnittstellen bestimmen, indem Du beide Graphen gleichsetzt (also f(x)=g(x)) und nach x auflöst und dann den Betrag des Integrals bestimmst.

Bzgl. Deiner Aufgabe: Die obere Fläche würde ich wie oben beschrieben mit dem Integral von (g-f) in den Grenzen -1 bis 3 bestimmen. Wenn Du dir die Funktionsterme anschaust, wirst Du evtl. erkennen, dass h(x)=f(x)-g(x) ist. D. h. es wird von der "kleineren" (bezogen auf den Bereich -1 bis 3) Funktion die "größere" abgezogen, daher erhältst Du für die untere Fläche "erst einmal" ein negatives Ergebnis. Das bedeutet umgekehrt: ist deine Flächenberechnung von z. B. f-g negativ, weißt Du, dass der Graph von f unterhalb von dem Graphen von g verläuft (im Bereich der Flächenberechnung).

zu Deiner Ergänzung:

beim Integrieren von h hast Du hinten einen Vorzeichenfehler drin: es muss -3x heißen, nicht +3x. Letztendlich muss "natürlich" -32/3 rauskommen (minus schon alleine deswegen, weil die Fläche unter der x-Achse liegt!).

Die "Startäste" eines Baumdiagramms besitzen die Gesamtwahrscheinlichkeit des zugehörigen Ereignisses. D. h. der Startast 'F' hat die Wahrscheinlichkeit P(F) und 'F-Strich' entsprechend P(F-Strich), und das sind aus der Vierfeldertafel natürlich die jeweiligen Summenzellen.

Die daran folgenden Äste sind bedingte Wahrscheinlichkeiten - nämlich die Wahrscheinlichkeit des kommenden Ereignisses unter der Bedingung des zuvor eingetretenen Ereignisses. D. h. z. B. für den Ast von F nach E, dass dieser die bedingte Wahrscheinlichkeit P_F(E) hat, also die "Wahrscheinlichkeit von E, unter der Bedingung F". Die zugehörige "Formel" lautet: P_F(E)=P(F n E)/P(E). Und das ist aus der Vierfeldertafel die innere Zelle (E;F) geteilt durch die äußere Summenzelle von F.

Entsprechend werden die anderen "Zweitäste" berechnet.

Du musst 2*II PLUS III rechnen, nicht minus III. Bei 2*II+III kommt vorne 2y-(-2y)=4y raus, dann erhältst Du auch 8z=16 wie im Buch. Deine 2. Gleichung kann so bleiben, macht auch das rückwärts rechnen einfacher, weil schon 1y da steht..

Auf der linken Seite der gefragten Wahrscheinlichkeiten sind alles bedingte Wahrscheinlichkeiten, die Du nach dem darunter stehenden Muster berechnest. Kleine Eselsbrücke wie man sich diese Formel merkt: P_A(B)=P(A n B)/P(A): es heißt ja:"Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetroffen ist"; entsprechend steht die Wahrschinlichkeit von A unter dem Bruchstrich, und oben steht immer die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen beider Ereignisse A und B, also in der Vierfeldertafel: die entsprechende Zelle (A|B) geteilt durch die Summenzelle der Vorbedingung.

P(h n N) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine helle Niete gezogen wird, und das ist einfach nur die entsprechende Zelle (hell|Niete).

P(h) und P(d) sind die Wahrscheinlichkeiten dafür dass ein heller bzw. ein dunkler Keks gezogen werden, und das ist jeweils die Summe der entsprechenden Zeile.

Bis auf Aufgabe d) nutzt Du am einfachsten zuerst die pq- oder abc-Formel, dabei wird das t unter der Wurzel erscheinen. Für das t, bei dem die Wurzel 0 wird, gibt es eine Nullstelle; bei den t's, bei denen die Wurzel negativ wird, gibt es keine Nullstellen.

Bei Aufgabe d) klammerst Du x aus und nutzt den Satz vom Nullprodukt: ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Hier wird u. a. klar: egal wie man t wählt, es gibt immer mindestens eine Nullstelle.