Ich gehe mal davon aus, es soll jeweils 0,3 heißen, so dass für -5€ noch die Wahrscheinlichkeit 0,4 übrig bleibt. Ansonsten wäre die Aufgabe eh nicht lösbar (was Teil b) angeht)...

Wenn ihr das Thema neu angefangen habt, dann beginne mit einem Baumdiagramm, um Dir die Vorgehensweise klar zu machen (und Du den Baum siehst und ihn Dir nicht vorstellen musst). D. h. Du beginnst mit den 3 Ästen 0,5€, 2€ und -5€ und schreibst jeweils die Wahrscheinlichkeiten dran, dann folgen an jedem Ast im zweiten Schritt nochmal die gleichen Äste mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten (die Kugel werden ja zurückgelegt).

Somit bekommst Du z. B. für den Pfad (0,5€|0,5€) auf die Wahrscheinlichkeit p=0,3 * 0,3 = 0,09. D. h. mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 (=9 %) gewinnt der Spieler 1,- € (0,5+0,5).

Das machst Du mit allen Pfaden: Wahrscheinlichkeit ausrechnen und den zugehörigen Gewinn/Verlust.

Bei a) kommen dann alle Pfade in Frage, die einen Verlust ergeben (also alle Pfade bei denen mindestens ein Ast -5€ "heißt". Die Wahrscheinlichkeiten dieser Äste werden addiert.

b) hier musst Du zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit ausrechnen, also den "Gewinn" jeden Pfades mal seiner Wahrscheinlichkeit und diese Ergebnisse addieren. Das Ergebnis ist die zu erwartende Auszahlung pro Spiel. Ein Minus bedeutet dabei, dass der Spieler Verlust macht, und somit der Spielanbieter Gewinn. Jetzt teilst Du 2.000,- durch diesen Gewinn des Spielanbieters und hast die Anzahl der nötigen Spiele um 2.000,- € einzunehmen (aus Sicht des Anbieters).

Ich habe das immer mit dem "daraus folgt"-Pfeil (=>) gemacht.

Zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die nötigen Ableitungen, dann die Bedingung, und dann das daraus folgende:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

I. f(0)=0 => a*0³+b*0²+c*0+d=0 <=> d=0 ;wobei man hier auch auf die Gleichung mit den eingesetzten Nullen hätte verzichten können, weil in diesem Fall das Ergebnis offensichtlich ist - in diesem Stadium geht der Lehrer sicher davon aus, dass man x-Werte richtig in einen Funktionsterm einsetzen und man daher in diesem Fall alle Summanden die Null ergeben direkt weglassen kann... Bei f(1) würde ich auch nicht für jeden Faktor x eine 1 schreiben, sondern Faktor 1 (wie üblich) einfach weglassen.

Ich sehe keinen Graphen, aber richtig. Wenn Du eine Einheit nach rechts gehst, geht es um das, was davor steht, in y-Richtung. Hier steht -2 vor dem x, also geht es vom "Startpunkt" (in der Regel/am einfachsten vom Schnittpunkt auf der y-Achse) eine Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Nachtrag: jetzt sehe ich ihn - der Graph ist korrekt.

Zuerst zeichnest Du den Ortsvektor (="Startpunkt") (2|4|2) ein und gehst dann von dort "eine Einheit" des Richtungsvektors weiter, also den Weg (3|2|3) und landest so auf dem zweiten Punkt (5|6|5). Dies ist der Punkt der entsteht, wenn Du t=1 einsetzt. (Der erste Punkt ist quasi der mit t=0...)

Dann einfach durch die beiden Punkte hindurch verbinden und Du hast die gegebene Gerade gezeichnet.

Zuerst rechnest Du jeweils die Klammern aus, dann multiplizierst Du die Ergebnisse daraus jeweils mit 2 (weil vor den Klammern jeweils "2*" steht), abschließend addierst Du die so entstehenden drei Teilergebnisse (Summanden). Das Ergebnis hat die Einheit dm².

Bei 1b) musst Du etwas aufpassen. Da musst Du erst einmal alles in die gleiche Einheit umwandeln; hier hast Du cm, mm und dm. Ich würde cm empfehlen, d. h. aus 15 mm wird 1,5 cm, und aus 2 dm wird 20 cm. Dann wieder die wie bei a) die Formel anwenden und genauso ausrechnen.

Bei 2)-4) geht's auch wie bei 1) nur um die Oberflächenberechnung. Hier sind wieder alle Einheiten je Quader gleich, d. h. Du brauchst nichts umrechnen. Nur Formel anwenden und losrechnen...

Wenn die Parabel nur auf der y-Achse verschoben ist, dann lautet die allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=ax²+c, und c ist die Schnittstelle mit der y-Achse, also hier y=4. Somit lautet die Funktionsgleichung: f(x)=-x²+4

Oder Du nutzt (wie vor allem bei den anderen beiden Graphen zu empfehlen), die Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)²+e mit Scheitelpunkt S(d|e). Bei der ersten Aufgabe ist der Scheitelpunkt (0|4), also: f(x)=-(x-0)²+4=-x²+4, kommt also (natürlich) dasselbe raus.

Nachtrag: sehe gerade erst Deine Berechnung - Du hast a ja mit der Scheitelpunktform und einem weiteren Punkt berechnet. Dann also einfach statt a den Wert -1 einsetzen (nur Minuszeichen reicht), und dann die quadr. Klammer noch lösen.

Damit in der dritten Zeile vorne eine Null stehen kann, muss die zweite Ziffer des hinteren Faktors ebenfalls Null sein, d. h. die dritte Zeile besteht nur aus Nullen.

Vorne die 60 stimmt, weil 2*? muss ja 120 ergeben.

Somit muss in der vorletzten Zeile hinten 28 stehen, damit in der Lösung als vorletzte Ziffer eine 2 stehen kann. Daher muss beim zweiten Faktor hinten eine 7 stehen.

"achsensymmetrisch zur Ordinatenachse (y-Achse)" bedeutet, es kommen nur gerade Exponenten vor, d. h. Deine Funktion hat schonmal die allgemeine Form:

f(x)=ax^4+bx²+c

D. h. es reichen 3 Eigenschaften (Gleichungen) um eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades eindeutig bestimmen zu können:

Bekannt ist, dass die y-Achse bei y=-2 geschnitten wird, also f(0)=-2, d. h. c=-2.

Jetzt hast Du noch den Punkt (1|-3) gegeben, also f(1)=-3 und die Steigung dort, nämlich f'(1)=-1.

Mit diesen beiden Gleichungen kannst Du nun recht leicht a und b bestimmen.

Abgesehen davon, dass ganz oben "theoretisch" 1^unendlich rauskommt für x->0 und nicht unendlich^0, wenn man die Basis und den Exponenten separat betrachtet, stimmt der Rest.

Die Ableitungen stimmen noch.

Der Grenzwert des Zählers ist 1, nicht 6.

Im Nenner steht ^(-1/2), d. h. das kommt mit ^(1/2) in den Zähler, d. h. Du hast letztendlich da stehen lim √(5+5x²)/(5x).

Jetzt im Zähler in der Wurzel x² ausklammern und so das x aus der Wurzel rausziehen und mit dem x im Nenner kürzen, ergibt:

lim √(5/x²+5)/5 = √(5)/5≈0,447

Um von x² auf x zu kommen, musst Du die Wurzel ziehen, also:

5^6=x² |Wurzel ziehen
x=+/-Wurzel(5^6)

Hier ist nur nach der positiven Lösung gefragt, also x=Wurzel(5^6)=5^(6)^(1/2)=5^(6*1/2)=5³=125

Um eine Funktion in y-Richtung zu strecken/stauchen, muss immer der komplette Funktionsterm mit dem Streckungs-/Stauchungsfaktor multipliziert wird.

Ob sich daraus dann eine Streckung oder Stauchung ergibt liegt am Betrag des Streckungsfaktors. Ist dieser größer 1, dann wird die Funktion gestreckt, ist er kleiner 1, dann wird gestaucht.

In Deinem Fall mit Faktor 2 wird also die Sinusfunktion gestreckt.

Bei der zweiten Ableitung setzt Du die Klammer nach dem Ausklammern von e^(-x²) falsch: hinter der e-Potenz gehört eine große Klammer!

=e^(-x²)*[-2+(-2x)*(-2x)]=e^(-x²)*(-2+4x²)

=e^(-x²)*(4x²-2)

Die Alternative wäre tatsächlich die Substitution:

u=ln(x) => u'=du/dx=1/x <=> dx=x du

einsetzen:

Int(u/x x du)=Int(u du)=1/2u²+C=F(u)

re-substituieren:

F(x)=1/2 ln(x)²+C

Zur Prüfung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Nullpunkt) bestimmst Du f(-x), d. h. Du ersetzt jedes x im Ausgangsterm durch (-x) und vereinfachst den Term. In diesem Fall kommt derselbe Term raus wie bei der Ausgangsfunktion (nur sind die Summanden vertauscht, was ja bekanntlich am Ergebnis nichts ändert).

Somit gilt f(-x)=f(x), und das bedeutet, dass f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Mit f'''(4)=6 (≠0) zeigst Du nur, dass bei x=4 wegen f''(4)=0 tatsächlich eine Wendestelle ist. Ob f''' größer oder kleiner Null ist ist egal und hat nichts mit der Krümmung zu tun (Hauptsache f'''≠0).

Jetzt musst Du prüfen, wie die Krümmung vor bzw. hinter x=4 ist. Dafür setzt Du einen Wert <4 (bzw. >4) in f'' ein und bestimmst so die Art der Krümmung: f''<0 => linksgekrümmt; f''>0 => rechtsgekrümmt

Also z. B.: f''(3)=6*3-24=-6<0 (in der Lösung wurde x=0 statt x=3 gewählt), d. h. f ist bis zur Wendestelle linksgekrümmt; und logischerweise hinter der Wendestelle rechtsgekrümmt, d. h. Du brauchst hinter der Wendestelle gar nicht prüfen, da an Wendestellen "automatisch" die Krümmung wechselt.

Hier geht es um exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme), d. h. Du benötigst eine Exponentialfunktion.

Diese sieht allgemein so aus: f(t)=a * q^(kt).

Das a ist der Anfangswert (bei t=0), das q ist der Wachstumsfaktor, das t die Zeit und das k ist ein Parameter, der die "Aktivierung" des Wachstums steuert, d. h. das k muss so gewählt werden, dass zu dem Zeitpunkt, an dem das erste Mal die vorgegebene Änderung eintritt, der Exponent den Wert 1 ergibt.

Hier ist kein konkreter Startwert gegeben, d. h. Du setzt allgemein a=100 %=1 an. Der Startwert soll nach bestimmter Zeit (hier halbstündlich) um 10 % abnehmen, d. h. nach einer halben Stunde sind nur noch 90 %=0,9 vom Startwert vorhanden, also q=0,9. Das t steht hier sinnvollerweise für "Stunden". Und da nach einer halben Stunde der Startwert auf 90 % sinkt, muss für das k der Wert 2 gewählt werden, denn k*t, also hier k*0,5 muss ja wie zuvor erwähnt den Wert 1 ergeben.

Also lautet hier Deine Exponentialfunktion:

f(t)=1*0,9^(2t)=0,9^(2t)

Bei a) ist gefragt, wann vom Startwert nur noch die Hälfte vorhanden ist, also nach f(t)=0,5:

0,9^(2t)=0,5 |ln anwenden

ln(0,9^(2t))=ln(0,5) |Regel: ln(a^b)=b*ln(a)

2t*ln(0,9)=ln(0,5) |:(2*ln(0,9))

t=ln(0,5)/(2*ln(0,9))=...

b) hier ist nach f(t)<0,001 gefragt; dabei darauf achten, dass wenn ln(x) negativ ist für x<1, d. h. dann musst das Ungleichheitszeichen "drehen"!

Wenn das tatsächlich die komplette Aufgabenstellung ist, dann ist die Lösung falsch!

Die erste Person hat 8 frei Stühle zur Auswahl, die nächste noch 7, die dritte noch 6, usw. D. h. es gibt 8*7*6*...*2*1=8!=40.320 Möglichkeiten.

Oder sollen etwa z. B. 2 von diesen 8 einen festen Platz zugewiesen bekommen, dann gäbe es für die restlichen 6 Personen 6!=720 Möglichkeiten sich auf die verbleibenden 6 Stühle zu verteilen...

Zerlege den Bruch von f in 3 Brüche und kürze die beiden ersten Brüche (das ist quasi eine "erleichterte" Polynomdivision). Du erhältst als Term die Parabel g plus Rest, d. h. die Parabel g ist die schiefe Asymptote von f...

(Bei c) gehst Du dann genauso vor!)

Hier liegt eine antiproportionale Zuordnung vor: je mehr Mitglieder, desto weniger Tage.

D. h. wenn Du den Dreisatz anwendest und links jetzt bei "72 Mitglieder entsprechen 15 Tage" durch 72 teilst, um auf "1 Mitglied entspricht ... Tage" zu kommen, musst Du rechts mit 72 multiplizieren.

Anschließend multiplizierst Du links mit 90, um auf die angegebenen 90 Mitglieder zu kommen, und musst rechts nun durch 90 teilen.

Also: 90 Mitglieder entsprechen 15*72/90=12 Tage.