Trassierung?
Hallo zusammen
Kann jemand mir erklären wie man überprüfen kann ob ein Graf Knickfrei, Sprungsfrei und Krümmerungsruckfrei ist?
Anhan diesen Beispielen:
Danke im voraus
Aufgabe. Erläutern Sie für die abschnittweise definierten Funktionen Gemeinsamkeiten und Unterschiede im Verlauf des Graphen in den
Übergangsstellen:
. bei b) in der Stelle x = 0
bei c) in der Stelle x = 2,5
. bei d) in der Stelle x = 1.
2 Antworten
Die Frage bzgl. sprung-, knick- und krümmungsruckfreien Graphen stellt sich immer nur bei zusammengesetzten Funktionen, und zwar an den Übergängen von einer Teilfunktion zur nächsten. D. h. bei deinen Beispielen bei a) an den Stellen x=-1 und x=+1, bei c) bei x=2,5 und bei d) bei x=1.
Ein Graph ist sprungfrei, wenn an der Übergangsstelle die Funktionswerte der von links kommenden Teilfunktion gleich der von rechts kommenden sind. D. h. z. B. bei Funktion a) musst Du bzgl. der Stelle x=-1 prüfen, ob dort die Teilfunktion f1(x)=x² denselben Funktionswert hat wie f2(x)=1. In diesem Fall passt das (f1(-1)=(-1)²=1=f2(-1)), wie man an dem Bild auch sieht.
Knickfrei bedeutet, wie der Name schon vermuten lässt, dass der Graph am Übergang keinen Knick hat. Damit kein Knick entsteht, müssen die Steigungen der betroffenen Teilfunktionen am Übergang gleich sein. D. h. Du musst bzgl. der Stelle x=-1 bei Graph a) f1'(-1) und f2'(-1) ermitteln und auf Gleichheit prüfen. Die Steigungen sind, wie man am Graphen schon sehen kann, nicht gleich, daher auch der sichtbare Knick: f1'(-1)=2*(-1)=-2 und f2'(-1)=0. Dann erübrigt sich auch die Frage, ob der Graph an dieser Stelle krümmungsruckfrei ist, denn dafür sind sprungfrei und knickfrei Voraussetzung.
Damit ein Graph krümmungsruckfrei ist, müssen die 2. Ableitungen am Übergang gleich sein, denn die 2. Ableitung gibt die "Stärke" der Krümmung an. Bei den Graphen c) und d) ist erkennbar, dass diese zumindest sprung- und knickfrei sind. Graph d) sieht am Übergang recht "flüssig" aus, hingegen es bei Graph c) am Übergang aus einer (Links-)Kurve in eine Gerade übergeht, d. h. wäre dieser Graph eine Straße, müsstest Du am Ausgang der Kurve recht ruppig entgegen der Linkskurve lenken um auf der Geraden sauber weiterfahren zu können. D. h., prüfst Du nun die 2. Ableitungen bei Graph d) dann wirst Du auf f1''(1)=f2''(1) kommen, und bei Graph c) wird f1''(2,5) ungleich f2''(2,5) sein.
An der jeweiligen Übergangsstelle x0:
Sprungfrei: f(x -> x0-) = f(x -> x0+)
Knickfrei: f'(x -> x0-) = f'(x -> x0+) und f Sprungfrei
Krümmungsruckfrei: f''(x -> x0-) = f''(x -> x0+) und f Sprungfrei und Knickfrei.
https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/trassierungen/
Dabei deutet x -> x0 die Annäherung an x0 "von links" an und x -> x0+ die von rechts.
Ich verstehe es leider nicht