Nullstellen bei verketteten Funktionen?
Angenommen, gegeben ist f= u(v(x)).
Dann kann f(x) ja nur eine Nullstelle haben, wenn u(x) ein Nullstelle hat, oder?
Wieso aber kann f(x) aber mehr Nullstellen haben, als u(x)?
Die Funktion f(x) richtet sich ja in der Anzahl der Nullstellen nach v(x). Sie kann also nicht mehr Nullstellen als v(x) haben (vorausgesetzt u(x)=0 existiert).
Wieso ist das so?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das vielleicht jemand erklären könnte!
3 Antworten
Deine Frage verstehe ich so nicht ganz, aber die Aussage/der Schluss
... sie kann also nicht mehr Nullstellen als v(x) haben
kann schon mal nicht stimmen.
Beispiel:
Hier hat v(x) als Exponentialfunktion keine Nullstelle, die zusammengesetzte Funktion u(v(x)) hat aber sehr wohl eine Nullstelle, nämlich x=0. Die zusammengesetzte Funktion hat also mehr Nullstellen als v(x).
Weiteres anschauliches Beispiel (die zusammengesetzte Funktion hat zwei Nullstellen und die beiden anderen haben keine bzw. eine Nullstelle):
Fazit: Die einzige Regel, die ich sehe, lautet: Wenn u(x) keine Nullstelle hat, dann kann auch die zusammengesetzte Funktion f(x) = u(v(x)) keine Nullstelle haben (v(x) ist ja ein Element aus ℝ und u(x) hat für x ∈ ℝ keine Nullstellen).
Danke für die ausführliche Erklärung! Das war wirklich sehr hilfreich.
f= u(v(x))
Wieso aber kann f(x) aber mehr Nullstellen haben, als u(x)?
Nimm an, u(x) hat nur eine Nullstellen bei x=5, z.B. u(x)=⅕x−1. Nimm außerdem an, v(x) produziere für viele verschiedene Eingabewerte x den Ausgabewert 5, z.B. v(x)=5⋅cos(2πx) liefert den Wert fünf für jedes ganzzahlige x. Dann muß f(x) offenbar für jedes ganzzahlige x eine Nullstelle haben, das sind ∞ mal mehr als u(x) hat.
Danke für die Beispiele! Jetzt ist mir Einiges klarer geworden!
u(x)=x : 1 Nullstelle
v(x)=x²-1 : 2 Nullstellen
f(x)=u(v(x))=x²-1 : 2 Nullstellen - also mehr als u(x).
Und dass f auch mehr Nullstellen haben kann als v hat evtldocha schon gezeigt.