Parabel Normalform Verschiebung?
Hey, ich lerne gerade über Parabeln. Die Normalform habe ich mir als
y = x^2 + bx + c aufgeschrieben.
Ich habe gelernt, dass b bestimmt wie viel entlang der x-Achse verschoben wird und c bestimmt wie viel entlang der y-Achse.
Nun war ich gerade auf Sofa Tutor und habe gelesen dass b Einfluss auf die Verschiebung an der x-Achse UND der y-Achse nimmt? Und dass das ganze entlang einer anderen Parabel verschoben wird?
Wieso liegt y = x^2-2x bei (1/-1)?
Ich habe am Dienstag Prüfung, bitte erklärt das mir, wär ich sehr dankbar.
4 Antworten
"Ich habe gelernt, dass b bestimmt wie viel entlang der x-Achse verschoben wird und c bestimmt wie viel entlang der y-Achse."
Das ist so leider falsch.
Richtig ist: Wenn ich eine Parabel f(x) = x² + bx + c habe und das c verändere, dann verschiebt sich die Parabel nach oben (wenn c sich vergrößert) und nach unten (wenn sich c verkleinert), das ist tatsächlich eine Verschiebung in y-Richtung.
Verändere ich aber das b, dann verschiebt sich die Parabel in beide Richtungen, sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung. Man kann nicht so einfach wie bei der Variation von c angeben, was passiert.
Kennst du schon die Scheitelpunktform? Du kannst dir überlegen, wie sich der Scheitelpunkt verändert, wenn sich b ändert. Eine Veränderung von b hat Einfluss auf beide Komponenten des Scheitelpunkts.
f(x) = x² + bx + c
f(x) = x² + bx + (b/2)² - (b/2)² + c
f(x) = (x+b/2)² + c-(b/2)²
Der Scheitelpunkt liegt bei (-b/2, c-(b/2)²)
Wenn du b also vergrößerst, rutscht der Scheitelpunkt nach links (wegen dem - vor dem b). Und auch in y-Richtung bewegt sich der Scheitelpunkt, das hängt dann wegen des Quadrats in der y-Komponente von der betragsmäßigen Veränderung von b ab. Wird b betragsmäßig größer, rutscht der Scheitelpunkt runter. Wird b betragsmäßig kleiner, so rutscht der Scheitelpunkt weiter hoch.
Ja die kenne ich und quadratische Ergänzung. Also von dem was ich jetzt interpretiere, muss ich das erst in Scheitelpunktform bringen und dann weiß ich wie viel b verschiebt?
Wenn das richtig ist, verstehe ich allerdings immer noch nicht, was die meinen mit "wird entlang einer anderen Parabel verschoben".
Und muss ich immer beides haben, Normalform und Scheitelform um die Parabel zeichnen zu können? Weil ich hab kürzlich gelesen dass man die quadratische Ergänzung bzw die Scheitelform nicht unbedingt braucht weil man iwie Maxima etc an der Normalform ablesen kann. Stimmt das?
Ich hatte mir die Scheitelpunktform als y = (x-xs)^2 +ys aufgeschrieben. (xs und ys sind die Scheitelpunkt Koordinaten) ist das die vereinfachte Schreibweise von f(x) = (x+b/2)² + c-(b/2)² ?
"Vereinfacht" ist nicht das richtige Wort hier. Du hast einfach zwei verschiedene Sachen: Wenn du vom Scheitelpunkt ausgehst, kannst du die Parabel durch
f(x) = (x-xs)² + ys
beschreiben.
Wenn du von den Parametern ausgehst, dann ist es halt
f(x) = x² + bx + c
Wenn du die Normalform in die Scheitelpunktform umwandelst, dann bekommst du eben heraus, dass
xs = -b/2 und
ys= c - (b/2)² ist.
Wandelst du umgekehrt die Scheitelpunktform in die Normalform um:
f(x) = (x-xs)² + ys = x² - 2x * xs + xs² + ys, dann hast
b = -2xs
c = xs^2+ys.
Das sind zwei verschiedene Betrachtungen.
"Wird entlang einer anderen Parabel verschoben". Das ist ein bisschen tricky (und du musst es nicht unbedingt wissen): Stell dir vor, du hast eine Parabel
f(x) = x² + bx + c mit irgendeinem festen c.
Jetzt setzt du für b verschiedene Werte ein , b=0, b= 1, b= 2, b= -1 usw. und zeichnest jedes Mal die Parabel dafür in ein Koordinatensystem ein. Jetzt machst du bei jeder dieser Parabeln ein Kreuz an der Stelle, wo der Scheitelpunkt liegt. Dann wirst du sehen, dass alles diese Kreuze wiederum auf einer Parabel liegen. Die Variation von b führt also dazu, dass die ganze Parabel sich auf einer parabelförmigen Bahn bewegt.
Man kann eine Parabel auch anders zeichnen, ja. Erstmal ganz klassisch mit einer Wertetabelle. Oder man bestimmt die Nullstellen (wenn sie welche hat) mit der pq-Formel, der Scheitelpunkt liegt dann ja dazwischen. Außerdem: du hast ja gerade gesehen, dass der Scheitelpunkt immer an der Stelle -b/2 liegt. Du kannst also einfach -b/2 in die Funktionsgleichung einsetzen, dann hast du auch die y-Komponente.
y = x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1 ;
Den kleinsten Wert den der Term (x - 1)^2 annehmen kann ist Null. Dieser Wert ergibt sich für x = 1. Der y-Wert ist dann -1.
Vielleicht hilft dir für das Verständnis der folgende Link auf mein altes Unterrichtskonzept
Also muss man erst die quadratische Ergänzung machen, damit man weiß wie b die Parabel verschiebt?
Ich habe gelernt, dass b bestimmt wie viel entlang der x-Achse verschoben wird
So einfach nicht!
f(x) = (x-s1)² + s2 = x²-2s1x+s1²+s2
Was ist hier b?
Die Verschiebung auf x-Achse bzw. y-Achse kannst du direkt ablesen in der Scheitelpunktform:
f(x) = a·(x-m)² + n
m .... Verschiebung auf x-Achse (wenn m sinkt → nach rechts)
n .... Verschiebung auf y-Achse
a ... Streckung (wenn >1) bzw. Stauchung (wenn 0<a<1)
Warum verschiebt das b in beide Richtungen?