Ist ein uralter "Trick" - den hab ich schon in der Schule gelernt.
Generell: wenn du die binomische Formel anwendest, kannst du jede 2-stellige Zahl im Kopf quadrieren!
Ich vermute aus deiner Skizze, dass die gebogenen Linien Viertelellipsen sind (eine Ellipse ist ein "in die Länge gezogener Kreis" mit 2 "Radien - analog zu Quadrat-Rechteck).
Ellipsen-Fläche= a·b·pi
Da die Fläche ein Viertel eine Ellipsenrings (analog zu Kreisring) ist, rechnest du "Fläche großer Ell minus Fläche kleiner Ell geteilt durch 4.
große Ell: a=3,5 b=3
kleine Ell: a=2,5 b=2
Wenn du die Weglänge wissen willst, guckst du da:
https://www.mathematik.ch/anwendungenmath/ellipsenumfang/
Denke an die Formel für Zinseszinsen!
Das ist die gleiche wie die Funktion zu prozentualem Wachstum:
Hier heißt das x eben t und f heißt n.
Trigonometrie ist hier nicht nötig → Pythagoras genügt!
Links vom Trapez hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 60° → das ist also ein halbes gleichseitiges Dreieck → die kurze Kathete ist also halb so lang wie die Hypothenuse → daher kannst du mit Pythagoras die kurze Kathete (y) berechnen → x = 2·y + 2,30
Beine-Anzahl:
Hühnerbeine + Kuhbeine
2·h + 4(36-h) → Max!
Verinfachen: B = 144 - 2h → d.i. eine Gerade mit negativer Steigung (h nicht negativ!) → das Maximum ist also bei h=0 (ausrechnen darfst du selbst)
10a) "Kantensumme = 60":
Der Rest geht analog genauso!
Statt der Polynomdivision kannst du auch das "Horner-Schema" verwenden - da musst du nur ein bisschen addieren und multiplizieren.
Wie bei Polynomdivision musst du die erste Lösung durch probieren suchen.
Hier findest du Erklärung (sieht viel mühsamer aus als es tatsächlich ist.):
https://simpleclub.com/lessons/mathematik-hornerschema
Nein!
Gegenbeipsiel 3:
Zeichne in die Skizze auch h (die Körperhöhe) ein, dann siehst du, dass die beiden h's mit a/2 ein rechtwinkliges Dreieck bilden → Pythagoras! → also hast du bereits a ausgerechnet.
Für den Rest die Formeln hernehmen und einsetzen.
Nein! Denn ein Bauer kommt nie in die eigene letzte Linie - er darf sich nur vorwärts bewegen, steht aber am Start in der zweiten Linie.
Bei mir in der Schule wurde über dem = ein kleines Bogerl (wie das Lächeln im Smiley) und darin zB :3 geschrieben (wenn durch 3 gekürzt wird).
Formal richtig wäre es so, wie evtldocha es schrieb - aber das ist meiner Meinung nach beim Erlernen zu unübersichtlich und wirkt eher verwirrend.
Aber eventuell hat euch der/die Lehrer*in gezeigt, wie ihr es machen sollt.
Wieso sagt man zu ,,2^3" -> 2 hoch 3
Und nicht: 3 hoch 2.
3² versus 2³
"3 hoch 2", weil der 2er oben steht
Für die Messung ist es egal, welchen Schunkel du als "ersten" bezeichnest.
Mathematisch gilt → siehe Antwort von DerRoll
Bei der Uhr macht es Sinn, im Uhrzeigersinn zu messen - aber, wie gesagt: wenn man nur das Gradmaß des Winkels wissen will, ist es egal.
303° - siehst du doch auf dem Bild (natürlich der große Winkel, das wird durch den Kreisbogen angedeutet; auch steht der Name des Winkels darin: "delta").
Der kleine ist dann 57°, aber der ist hier nicht gemeint.
Der Fehler liegt bei der Eingabe in Geogebra:
In Zeile 2 hast du eingegeben: h(10,5)=1,15
Geogebra macht daraus 100a + 10b + c = 23/20 → offenbar hat Geogebra das "10,5" als "10" interpretiert.
(dass etwas nicht stimmen kann, siehst du an Zeile 5: a = 0 → das kann nicht sein, denn dann hättest du eine lineare Gleichung!)
Gib in Geogebra statt des Komma einen Punkt als Dezimaltrenner ein.
Ich vermute, a ist die Glasdicke der Vase → dann musst (analog zu Kreisring) vom Volumen der "Vollvase" das Vloumen des Inneteils abziehen.
Volumen Rotationskörper = 𝜋·∫f²(x)
Hier: V = 𝜋·{ ∫[(𝑥/10)+ (√𝑥/10)+ 0,25]²·dx - ∫[(𝑥/10)+ (√𝑥/10)]²·dx}
Ich bin mir aber nicht sicher, ob meine Vermutung richtig ist.
Es könnte auch sein, dass die Materialmenge nach fläche berechnet wird → dann guckst du da:
https://www.frassek.org/3d-mathe/rotationsk%C3%B6rper/mantelfl%C3%A4che/
Die Verschiebung auf x-Achse bzw. y-Achse kannst du direkt ablesen in der Scheitelpunktform:
f(x) = a·(x-m)² + n
m .... Verschiebung auf x-Achse (wenn m sinkt → nach rechts)
n .... Verschiebung auf y-Achse
a ... Streckung (wenn >1) bzw. Stauchung (wenn 0<a<1)
So kannst du es auch schreiben.
Einfacher geht es nicht, weil: das ^2 im Exponenten mußt du zuerst rechnen, daher ist "e^lnx = x" hier nicht anwendbar!
Kugeln insgesamt = q+r
p(rot) = r/(q+3)
p(schwarz) = q/(q+r)
Ziehung: n = l+m
l schwarze gezogen und m rote:
ad a) Da die Parabel immer nur verschoben wird, ändert sich die Krümmung nicht → daher ist bei allen der gleiche Stauchungsfaktor (das a in f(x)=a(x-m)²+n).
Du hast aber 3 verschiedene a's! (a=2 ist richtig!)
ad b) f(x)=a(x-m)²+n) heißt auch "Scheitelpunktform", weil man den Scheitel S(m/n) direkt ablesen kann.