Weiter hab ich die KI gefragt:
Okay, ich dachte aber, dass es genau andersrum ist, d.h. dass der 6. Spieler die höchsten Überlebenschancen hat: denn wenn der Erste würfelt, hat er eine 1/6-Chance die tödliche 6 zu würfeln, der 2-te hat ebenfalls theoretisch die gleiche Chance, aber nur mit dem 2. Versuch, d.h. es gibt eine Möglichkeit, dass der erste Versuch fehlschlägt! Und wenn man weiter das dritte oder das vierte mal würfelt, wird die Chance jeweils immer kleiner, eine 6 zu würfeln, sodass der sechste Spieler eigentlich die besten Chancen hat zu überleben, da vor ihm 5 Spieler dieses Spiel spielen müssen, ehe er dran ist! Ich hoffe das macht alles sinn und du kannst mir folgen!
ChatGPT:
Ja, ich verstehe genau, was du meinst! Dein Denkansatz ist intuitiv und nachvollziehbar, aber er geht von einer anderen Perspektive aus. Lass uns das noch einmal logisch aufdröseln und genau prüfen, warum die Wahrscheinlichkeit sich so verhält.
1. Warum hat der erste Spieler die beste Überlebenschance?
Jeder Spieler kommt nur zum Zug, wenn alle vorherigen Spieler überlebt haben. Das bedeutet:
Der erste Spieler muss nur darauf achten, selbst keine 6 zu würfeln.
Der zweite Spieler überlebt nur, wenn der erste keine 6 geworfen hat.
Der dritte Spieler überlebt nur, wenn sowohl der erste als auch der zweite keine 6 geworfen haben.
Das Problem ist also nicht die einzelne Wahrscheinlichkeit von 1/6 pro Spieler, sondern die Kette von Bedingungen, die vorher erfüllt sein müssen!
Das bedeutet: Je später ein Spieler dran ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel schon vorher endet, weil jemand eine 6 gewürfelt hat!
2. Mathematische Erklärung
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel überhaupt bei Spieler n ankommt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle vorherigen Spieler keine 6 würfeln. Das ist:
Pn=(56)n−1P_n = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}Pn=(65)n−1
Und wenn er dann würfelt, hat er eine 5/6-Chance zu überleben:
PU¨berleben von Spieler n=(56)nP_{\text{Überleben von Spieler } n} = \left(\frac{5}{6}\right)^nPU¨berleben von Spieler n=(65)n
Das bedeutet:
Spieler 1: P1=(5/6)1=83,33%P_1 = (5/6)^1 = 83,33\%P1=(5/6)1=83,33%
Spieler 2: P2=(5/6)2=69,44%P_2 = (5/6)^2 = 69,44\%P2=(5/6)2=69,44%
Spieler 3: P3=(5/6)3=57,87%P_3 = (5/6)^3 = 57,87\%P3=(5/6)3=57,87%
Spieler 4: P4=(5/6)4=48,23%P_4 = (5/6)^4 = 48,23\%P4=(5/6)4=48,23%
Spieler 5: P5=(5/6)5=40,19%P_5 = (5/6)^5 = 40,19\%P5=(5/6)5=40,19%
Spieler 6: P6=(5/6)6=33,49%P_6 = (5/6)^6 = 33,49\%P6=(5/6)6=33,49%
Wie du siehst: Die Wahrscheinlichkeit sinkt mit jedem weiteren Spieler, nicht umgekehrt!
3. Intuition: Warum scheint es andersherum zu sein?
Dein Gedanke ist: "Wenn der sechste Spieler an die Reihe kommt, hat er doch eine Chance von 5/6 zu überleben!"
Das stimmt, aber er kommt nur dran, wenn die vorherigen fünf Spieler alle überlebt haben! Und genau da liegt das Problem.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel überhaupt bis Spieler 6 geht, ist nur (5/6)^5 = 40,19%!
Das heißt: Spieler 1 hat von Anfang an 83,33% Chance zu überleben.
Spieler 6 hat zwar "lokal" eine 5/6-Chance, aber das Spiel kommt nur mit 40,19% Wahrscheinlichkeit bis zu ihm!
Insgesamt hat er deshalb nur 33,49% Gesamtüberlebenschance.
4. Fazit
Je früher du dran bist, desto größer ist deine Überlebenschance.
Je später du dran bist, desto wahrscheinlicher ist es, dass jemand vor dir bereits eine 6 würfelt und das Spiel beendet.
Spieler 1 hat die höchste Chance zu überleben (83,33%), Spieler 6 die geringste (33,49%).
Das alles verwirrt mich total! Ich hatte wirklich angenommen, dass der 6. die größten Überlebenschancen hätte... Was denkt ihr?