Durch Schütteln und Zählen der sichtbaren Kugeln nach Farbe kannst Du nur grob ermitteln, wie groß der Anteil der einzelnen Farben im Kasten ist, aber nicht die konkrete Anzahl jeder Farbe.

Hier sind z. B. 21 weiße Kugeln zu sehen. Wenn sich diese Anzahl nach 100 Versuchen durchschnittlich ergibt, kann man vermuten, dass tatsächlich um die 21 % weiße Kugeln im Kasten sind. Aber ob nun z. B. 42 von 200 Kugeln weiß sind oder 63 von 300 (oder 32 von 150), das wird man nicht ermitteln können.

Wenn z. B. Umfragen in mehreren Städten mit potenziellen Wählern bzgl. deren politischen Ausrichtung gemacht werden, kann man daraus in etwa auf den gesamten prozentualen Anteile für die einzelnen Parteien in dem befragten Land schließen, aber nicht, wieviele Wahlberechtigte darin leben.

Wenn Du das Becken im Querschnitt skizzierst (Blick von der Seite auf beide Beckenbereiche), dann siehst Du ein 35,64 m x 2,60 m großes Rechteck, von dem Du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkellängen 35,64 m und 2,50 m abziehen musst. Das musst Du dann noch mit der Beckenbreite von 12,67 m multiplizieren.

Einzelne Faktoren des Zählers kannst Du auch vor/hinter den Bruch schreiben.

D. h.:


bedeutet für Dein Beispiel:



D. h. das x rutscht einfach in den Nenner zum n und nicht dieses n noch eine Etage tiefer... Der Strich über dem n ist der Hauptbruchstrich. In Deiner zweiten Variante machst Du den Bruchstrich von a/x zum Hauptbruchstrich, und der über dem n "mutiert" zum Teilbruchstrich.

Richtige Schreibweise wäre, wenn Du den Zähler zuerst auf einen eigenen Bruchstrich bringen möchtest:

Der Strich über dem n ist größer als der über dem x und somit eindeutig als Hauptbruchstrich gekennzeichnet.

Einen negativen Exponenten wirst Du los, indem Du von der Basis den Kehrwert bildest, d. h. allgemein: (a/b)^(-c) ist das gleiche wie (b/a)^c.

Das bedeutet nun z. B. für 13a) -5^(-2) = -(1/5)² = -1/25. Hier ist noch wichtig zu wissen, dass das Minuszeichen vor der 5 NICHT zur Basis 5 bzw. zur Potenz 5^(-2) gehört, sonst müsste es (-5)^(-2) heißen!

13d) ist falsch, denn aus (1/2)^(-3) wird (2/1)³=2³=8 und rechts steht ausgerechnet 1/8.

13e) allgemeine Info: ist die Basis positiv, ist auch die gesamte Potenz positiv, egal wie der Exponent lautet; erst ein Minuszeichen VOR der Potenz macht diese dann negativ. D. h. hier (3/4)^(-2) kann nicht -16/9 sein. Es ist stattdessen (3/4)^(-2)=(4/3)²=(+)16/9.

13f) "hoch 0" ergibt immer 1 - außer 0^0: das ist nicht definitert. Und (-3)^(-3)=(-1/3)³. Hier ist die Basis negativ und der Exponent ungerade, d. h. die Potenz ist negativ (=-1/27), d. h. die Ungleichung dieser Teilaufgabe ist korrekt

Bei Aufgabe 16 kannst Du die einzelnen Zahlen (bei Brüchen Zähler und Nenner separat) in ihre Primfaktoren zerlegen und daraus dann (verschiedene) Potenzen bilden. Hierbei ist generell "nicht verkehrt" die Zweierpotenzen bis 2^10 zu (er)kennen.

Beispiele:

16a) 64 ergibt komplett zerlegt: 2*2*2*2*2*2=2^6. Eine weitere Variante ist immer den Kehrwert der Basis nehmen und das Vorzeichen des Exponenten wechseln, d. h. 2^6=(1/2)^(-6). Auch kannst Du die Primfaktoren wieder gleichmäßig zusammensetzen: =(2*2)*(2*2)*(2*2)=4*4*4=4³ oder =(2*2*2)*(2*2*2)=8*8=8².
Und auch die kannst Du wieder umformen zu (1/4)^(-3) bzw. (1/8)^(-2).

16m) 32/243 = (2*2*2*2*2)/(3*3*3*3*3)=2^5/3^5=(2/3)^5. Regel: haben Zähler und Nenner denselben Exponenten, dann kannst Du Zähler und Nenner in Klammern zusammenfassen (gilt auch bei Multiplikation: a^c * b^c = (a*b)^c.

Als ich nach meiner Fußball"karriere" u. a. aufs (anfänglich) gehasste "Laufen ohne Ball" umgestiegen bin, hatte ich gelegentlich das Gefühl, als würde ich einfach nicht müde werden und habe an meine Standardrunde (ca. 10 km - mein damaliges Tempo ca. 11-12 km/h [5-5:30 min/km]) noch die eine oder andere Schleife zwischengeschoben/angehängt. Aber ob man das dann schon als so ein "Runner's High" bezeichnen kann? Vielleicht habe ich (unbewusst) einfach nur zuvor das richtige gegessen oder hatte einfach nur eine außergewöhnlich gute Tagesform...

Möglicherweise ist es bei Dir nach knapp fünf Wochen noch etwas zu früh für ähnliche Wahrnehmungen. Es macht sicher auch einen Unterschied, ob man gerne (und) am Limit läuft bzw. sich auch mal an neue Höchstleistungen "ranquält" oder ob man läuft, weil man das Gefühl hat etwas tun zu müssen und nicht wirklich Lust hat jetzt gerade zu laufen.

Die untere Grenze -1 darf man nicht einfach so einsetzen, weil die zu integrierende Funktion dort nicht definiert ist (Nenner wird Null). Daher bildet man den Grenzwert, hier mit a->-1 und lässt so die Untergrenze auf die Definitionslücke zulaufen.

Dass hier "zwischendurch" die obere Grenze 1 genannt wird, ist wohl ein (Ab-) Schreibfehler... Nach dem Integrieren steht oben wieder die richtige Null, die dann auch eingesetzt wird. Oben rechts steht's auch richtig.

Dein Weg ist korrekt. Und wenn Du richtig rundest (480/990=0,484848...=0,48, nicht 0,49 !!), dann kommt auch die Antwortoption 52% raus...

Einmal mit 6 Würfeln zu würfeln ist das gleiche wie 6mal hintereinander mit 1 Würfel zu würfeln. Dabei gibt es 6 Konstellationen GENAU EINE 6 zu würfeln: entweder als 1., 2., 3., ....

Deine ermittelte Wahrscheinlichkeit ist die für genau eine dieser Konstellationen. D. h. Du musst das noch mit 6 multiplizieren. Somit kommt letztendlich (5/6)⁵=0,4019=40,19% raus.

Die Äpfel sind doppelt so schwer wie die Limonen, d. h. das Gewicht von Äpfel und Limonen zusammen muss durch 3 teilbar sein (Äpfel und Limonen zusammen ergeben 3mal das Limonengewicht).

Du addierst also alle Gewichte miteinander und lässt immer ein Gewicht für die Orangen weg und schaust, wann das übrige Gewicht durch 3 teilbar ist. Das ist der Fall, wenn Du 18 oder 24 kg weglässt. Dann teilst Du das Gewicht durch 3 und schaust, ob Du dieses Gewicht (der Limonen) aus den Sackgewichten zusammensetzen kannst.

Rechne beide Brüche in 24stel um, und Du kannst diese dann leicht zusammenfassen...

Gelegentlich (zu selten) gehe ich in meiner einstündigen Mittagspause im angrenzenden Feld/Wald spazieren. Dann aber ohne Musik, Hörbücher oder Podcasts, um mein Hirn etwas runterzufahren und um die Natur hören und genießen zu können.

Der Graph oben links ist eine Gerade, deren Funktionsterm hat die Form mx+b. Der Graph unten rechts hat eine Nullstelle - die angegebene Funktion kann nicht Null werden (dazu müsste der Zähler Null werden), hat also keine.

Die anderen beiden Graphen sind ähnlich. Da bleibt nur ein/zwei Punkte zu testen... Für x=1 ergibt sich für die gegebene Funktion y=2. Das Könnte auf beide Graphen zutreffen, aber für x=2 ergibt sich y=2/4=1/2. Das passt nur zu dem Graphen oben rechts.

Der Verbrauch wird in "Liter pro 100 km" angegeben.

Möchtest Du nun die verbrauchten Liter für eine bestimmte Kilometerzahl wissen, wie z. B. hier bei 2 l/(100 km) für 16.000 km, dann rechnet man Verbrauch mal Kilometer, also l/100(km) * km, also hier: L = 2 l/(100 km) * 16.000 km = 2 * 160 l = 320 l (nicht 360, wie bei Dir steht!). D. h. in der Rechnung wird 2 * 16.000/100 gerechnet, daher das Streichen der beiden Nullen.

Wie lautet denn die richtige Ausgangs(un)gleichung...?

ln(x+1) ist erst einmal eh nur für x>-1 definiert, da das Argument (=Wert in Klammern) des ln größer Null sein muss, d. h. heißt hier: x+1>0 <=> x>-1.

Und soll hier z. B. |ln(x+1)|>=0 sein, dann gilt das wegen des Betrags "natürlich" für den kompletten Definitionsbereich, also für x>-1, da der Betrag einer Zahl immer mindestens Null ergibt!

Ansonsten gilt allgemein für |ln(x+1)|=a mit a>=0: [für a<0 gibt es keine Lösung!]
1.Fall/Lösung: ln(x+1)=a für ln(x+1)>=0 <=> x>=0
=> x+1=e^a
<=> x=e^a-1
2.Fall/Lösung: -ln(x+1)=a für ln(x+1)<0 <=> x<0
=> ln(x+1)=-a <=> x+1=e^(-a) <=> x=e^(-a)-1

D. h. |ln(x+1)|=a hat die beiden Lösungen x1=e^a - 1 und x2=1/e^a - 1.

Du hast in Deinem Anhang Aufgabe d) bearbeitet, nicht e)!

Der Anfang ist korrekt: sin(u)=1/W(2) gilt als "erstes" für u1=pi/4 (befindet sich im Einheitskreis im ersten Quadranten [also oben rechts]).

Bei der zweiten Lösung hast Du die falsche Periodenlänge angesetzt! Da Du dich gerade in der Substitution befindest (sin(u)), musst Du auch die Periodenlänge dieses Sinus' nehmen, und sin(1u) hat die Periodenlänge 2pi. Später beim Resubstituieren wird dann daraus die tatsächliche Periodenlänge des Ausgangssinus'.

D. h. u1=pi/4 und u2=pi - u1=pi - pi/4 = 3pi/4

alle weiteren Lösungen ergeben sich durch vielfache Addition der Periodenlänge (von sin(u)), also durch Addition von 2pi*n, also:

u1=pi/4 + 2npi ; u2=3pi/4 + 2npi

Nach Resubstitution, also in diesem Fall nach Teilen durch 5 (u=5x => x=u/5) ergeben sich die angegebenen Lösungen:

x=pi/20 + 2npi/5 und x=3pi/20 + 2npi/5

Bei e) wäre Dein "Startwert" u1=pi/6. Danach ist die Vorgehensweise dieselbe wie bei d)...

Jeder Balken der "E"s entspricht einem Zehntel der zugrundeliegenden Einheit, hier wahrscheinlich dm. Trifft das "Fadenkreuz" nicht genau auf den Übergang von einem Balken zum nächsten, dann muss man diesen Zwischenraum wohl abschätzen...

So liegt z. B. bei a'1 das Fadenkreuz im 8 dm-Bereich ein Stückchen im 2. Balken, d. h. zu den 8 dm, kommt 0,1 dm für den ersten vollen Balken plus einem abgeschätzten Zuschlag hinzu. Ich würde hier jetzt als Höhe 8,12 dm ansetzen.

Bei a'2 ist das Fadenkreuz ca. in der Mitte des ersten Balkens im 7 dm-Bereich, also Höhe ca. 7,05 dm.

a'4 kann man am besten ablesen, hier liegt das Fadenkreuz genau auf dem Ende des zweiten Balkens, also h=17,2 dm.

Möglich, dass die Angaben in der Praxis in m angegeben werden statt in dm...

f(x)=a * Z(x)/N(x)

Z(x) ist der Zählerterm, den Du so aufstellst, dass dieser für die Nullstellen den Wert 0 ergibt.

N(x) ist der Nennerterm: den bildest Du so, dass dieser an den Definitionslücken Null wird.

Dann setzt Du einen gut ablesbaren Punkt in die bisherige Gleichung ein und formst nach dem Streckungsfaktor a um.

einfaches Beispiel: ablesbare einfache Nullstellen: N1(0|2); N2(0|-2); einfache Definitionslücke bei x=1, weiterer Punkt: P(-1|-3)

=> Z(x)=(x-2)(x+2); N(x)=x-1

"Zwischenstand": f(x)=a * (x-2)(x+2)/(x-1)
Punkt P einsetzen:
-3=a * (-1-2)(-1+2)/(-1-1)
-3=a * (-3) * 1 / (-2)
-3=3/2a |*(2/3)
a=-2

also: f(x)=-2(x-2)(x+2)/(x-1)

2a) geht x->∞ geht 1/x gegen 0 und somit ist der Grenzwert für e^(1/x) gleich 1, d. h. der Grenzwert von f(x) ist für x->∞ gleich 0.

Von rechts gegen 0 läuft der Exponent 1/x Richtung ∞, und somit e^(1/x) und damit f(x) auch (-1 hinten im Funktionsterm spielt keine Rolle).

Von links gegen 0 läuft 1/x gegen -∞, d. h. für e^(1/x) als Grenzwert 0 (e^(-∞)=1/e^∞)), d. h. f(x) läuft dann gegen -1.

Bei b) musst Du die Teilfunktionen betrachten, die für die gesuchten Grenzwerte in Frage kommen, d. h. für x->0 von links musst Du die obere Funktion betrachten und für x->0 von rechts und für x->∞ die untere. Die entsprechenden Grenzwertermittlungen sollten kein Problem sein...

Du teilst die angegebenen Kalorien durch die zugehörige Grammzahl (meist pro 100g, oder auch pro Portion, z. B. 20g) und multiplizierst dann mit der Grammzahl die du abgewogen/vorliegen hast bzw. essen möchtest.

Gesucht ist der Graph einer Stammfunktion zu der abgebildeten Funktion, d. h. was Du dort siehst ist der Graph der Ableitungsfunktion des Graphen den Du zeichnen sollst.

Da keine Anfangspopulation angegeben ist, beginnst Du den Graphen auf der y-Achse irgendwo über der x-Achse (im Negativen wäre ja für eine Population auch unlogisch). Dann steigt der Graph bis er beim gezeigten Hochpunkt seinen Wendepunkt und bei der Nullstelle bei x=2 seinen Hochpunkt erreicht. Bei x=3 erreicht der Graph dann seinen nächsten Wendepunkt und bei x=4 seinen Tiefpunkt - und das alles oberhalb der x-Achse. Sind die Flächen zwischen den Nullstellen gleich groß? Kann ich gerade schlecht abschätzen... Wenn ja, dann sollte der Graph bei x=4 auf gleicher Höhe sein wie bei x=0, weil dann von 0 bis 2 die Populationssteigerung genauso groß ist wie anschließend die Minderung von 2 bis 4.