Kann mir jemand erklären wie das hier mit den Grenzwerten funktioniert?
4 Antworten
Die Aufgabe scheint ja zu sein, zu überlegen, wie sich die Kurven bei sehr großen und bei sehr kleinen positiven und negativen Zahlen also fast unendlich oder fast Null verhalten.
F(x)=e^(1/x)-1
Für große positive Zahlen für x wird der Exponent der e-Funktion winzig klein. Je größer x wird, desto näher geht 1/x gegen 0 e^0 ist 1 daher ist der Grenzwert
Lim e^(1/x)-1 für x gegen unendlich
e^0-1=1-1=0
Die gleiche Überlegung steht dann für negativ unendlich, negativen gegen Null ( kleine, negative Zahlen) und positiv gegen Null an.
Gegen Null geht der Exponent gegen Unendlich. Damit geht die e- Funktion gegen Unendlich. Dabei kann man dann 1 ignorieren, so dass der Grenzwert Unendlich ist.
Mit x gegen Null musst du aber zum einen beachten, ob du dich im negativen oder im positiven der Null näherst. Wenn du dich vom negativen her annäherst wird der Grenzwert -1 und wenn du dich vom positiven her annäherst wird der Grenzwert unendlich.
Mit e^(1/-0,1)-1 erhältst du z.B. einen y-Wert von -0,9999546... also fast -1 und mit x=-0,01 zeigt mir der TR schon -1 an.
Lass dir die Funktion z.B. mit GeoGebra zeichnen, dann siehst du es.
Stimmt, ich hatte nur den positiven angenommen, damit @akademiker99 noch n bißchen was zu tun hat ;)
2a) geht x->∞ geht 1/x gegen 0 und somit ist der Grenzwert für e^(1/x) gleich 1, d. h. der Grenzwert von f(x) ist für x->∞ gleich 0.
Von rechts gegen 0 läuft der Exponent 1/x Richtung ∞, und somit e^(1/x) und damit f(x) auch (-1 hinten im Funktionsterm spielt keine Rolle).
Von links gegen 0 läuft 1/x gegen -∞, d. h. für e^(1/x) als Grenzwert 0 (e^(-∞)=1/e^∞)), d. h. f(x) läuft dann gegen -1.
Bei b) musst Du die Teilfunktionen betrachten, die für die gesuchten Grenzwerte in Frage kommen, d. h. für x->0 von links musst Du die obere Funktion betrachten und für x->0 von rechts und für x->∞ die untere. Die entsprechenden Grenzwertermittlungen sollten kein Problem sein...
Ich habe dir die Funktion mal mit GeoGebra gezeichnet
Sollte helfen zu sehen wie die Grenzwerte mit x gegen Null (beachte Annäherung an die Null aus dem negativen oder aus dem positiven, das ist unterschiedlich). Mit x= -0,1 wird y= -0,9999546, also fast -1. Mit x= -0,01 gibt mir der TR schon y= -1 aus. Mit x= 0,1 wird y= 22 025,466 und mit x= 0,01 schon rund 2,7*10^43 (27 mit 42 Nullen dahinter, also schon groß).
Einmal nähert man sich von +0 und einmal von -0...
Also bei a) ergibt e^(1/x) -1 , wenn man sich von +0 annähert, den Grenzwert unendlich
Und wenn man sich von -0 annähert -1, da der term e^(1/x) dann e^(-unendlich) ergibt und damit dieser Term gegen 0 geht;
Ich denke jetzt sollte alles klar sein
Und wie geht es gegen null aber?