Rechenweg trigonometrische Gleichung (mit Sinus)?
Bei der Teilaufgabe f) at mein Rechenweg noch gepasst (Substitution mit u = 3x; zwei Lösungen gefunden und dann Resubstitution mit beiden Lösungen u); aber wie gut zu erkennen its, hat es bei e) nicht mehr gepasst. Wo liegt mein Fehler? Ich habe eigentlich gedacht, ich müsse eine Substitution mit u = 5x ausführen, meine zwei Lösungen u finden und anschließend eine Resubstitution durchführen und dann diese vermerken mit x1 (bzw. X2) + Periodenlänge * n.
Allerdings hat sich bei Vergleich mit der Lösung von e) gezeigt, dass die Lösungen, die ich bei der Substitution (also vor der Resubstitution) erhalten habe, als endgültige Lösungen vermerkt sind, allerdings verstehe ich nicht warum, denn eigentlich sollten diese ja nur als „Zwischenlösungen“ vor der Reusbititution dienen, nicht? Ansonsten verstehe ich nicht, weswegen ich bei f) eine vollständige Substitution (also mit Resubstitution) durchführen musste, um meine Lösungen zu erhalten.
LG
3 Antworten
Du hast in Deinem Anhang Aufgabe d) bearbeitet, nicht e)!
Der Anfang ist korrekt: sin(u)=1/W(2) gilt als "erstes" für u1=pi/4 (befindet sich im Einheitskreis im ersten Quadranten [also oben rechts]).
Bei der zweiten Lösung hast Du die falsche Periodenlänge angesetzt! Da Du dich gerade in der Substitution befindest (sin(u)), musst Du auch die Periodenlänge dieses Sinus' nehmen, und sin(1u) hat die Periodenlänge 2pi. Später beim Resubstituieren wird dann daraus die tatsächliche Periodenlänge des Ausgangssinus'.
D. h. u1=pi/4 und u2=pi - u1=pi - pi/4 = 3pi/4
alle weiteren Lösungen ergeben sich durch vielfache Addition der Periodenlänge (von sin(u)), also durch Addition von 2pi*n, also:
u1=pi/4 + 2npi ; u2=3pi/4 + 2npi
Nach Resubstitution, also in diesem Fall nach Teilen durch 5 (u=5x => x=u/5) ergeben sich die angegebenen Lösungen:
x=pi/20 + 2npi/5 und x=3pi/20 + 2npi/5
Bei e) wäre Dein "Startwert" u1=pi/6. Danach ist die Vorgehensweise dieselbe wie bei d)...
Zunächst einmal: Ups, stimmt, das war ein Versehen. Ich habe gar nicht gemerkt, dass ich die falsche Aufgabe angeführt habe.
Zweitens: Herzlichen Dank! An die Periodenlänge in der Substitution habe ich gar nicht gedacht. Super, danke danke danke!
sin(5x) = 1/2 lese ich
sin(5x) = 1/2
Substitution: 5x = u
sin(u) = 1/2
u = π/6 + 2nπ ∨ u = π - π/6 + 2nπ ; n ϵ Z
u = π/6 + 2nπ ∨ u = 5π/6 + 2nπ ; n ϵ Z
Resubstitution: u = 5x
5x = π/6 + 2nπ ∨ 5x = 5π/6 + 2nπ ; n ϵ Z
x_1 = π/30 + 2nπ/5 ∨ x_2 = π/6 + 2nπ/5 ; n ϵ Z